Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- Duas curvas no plano:
(parábola) e (reta horizontal). - A região procurada é a região fechada onde as duas curvas se intersectam e formam um “fechamento” (ou seja, a área entre elas).
- Não há unidades fornecidas, então vamos devolver a área em unidades quadradas genéricas.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas (esses são os limites em
para a integração). Igualamos as duas equações:
Resolvendo:
Portanto as curvas se encontram em
e
.
Passo 3
Explicar a ideia para calcular a área entre duas curvas (aula rápida): se em um intervalo
uma curva fica sempre acima da outra, a área entre elas é dada pela integral
Aqui
é a função com maior valor de
em cada
e
a menor. A integranda
representa a distância vertical entre as curvas em cada
, e integrar soma essas “tiras” verticais para obter a área total.
Passo 4
Determinar, para
, qual é a curva “topo” e qual é a “base”. Observação simples:
- Para qualquer
com , temos . Então está acima de nesse intervalo.
Logoe para .
Passo 5
Montar a integral que representa a área:
Observação útil (economiza cálculo): a função
é par (porque depende de
), então a integral de
a
é o dobro da integral de
a
. Ou seja,
Passo 6
Calcular a antiderivada (lembrando as regras básicas):
-
. -
.
Portanto uma antiderivada de
é
Passo 7
Avaliar a integral definida usando
:
Calculemos os valores:
Subtraindo:
(Se você preferir a via do passo 5 com simetria:
, mesma resposta.)
Passo 8
Interpretação final: a área da região limitada pelas curvas
e
é
(unidades quadradas).