Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = 4.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y=x^2 e y=4.
Informações dadas:
  • Duas curvas no plano: y=x^2 (parábola) e y=4 (reta horizontal).
  • A região procurada é a região fechada onde as duas curvas se intersectam e formam um “fechamento” (ou seja, a área entre elas).
  • Não há unidades fornecidas, então vamos devolver a área em unidades quadradas genéricas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas (esses são os limites em x para a integração). Igualamos as duas equações:
x^2 = 4.
Resolvendo:
x = \pm 2.
Portanto as curvas se encontram em x=-2 e x=2.

Passo 3

Explicar a ideia para calcular a área entre duas curvas (aula rápida): se em um intervalo [a,b] uma curva fica sempre acima da outra, a área entre elas é dada pela integral
\text{Área}=\int_{a}^{b}\big(\text{topo}(x)-\text{base}(x)\big)\,dx.Á
Aqui \text{topo}(x) é a função com maior valor de y em cada x e \text{base}(x) a menor. A integranda \text{topo}-\text{base} representa a distância vertical entre as curvas em cada x, e integrar soma essas “tiras” verticais para obter a área total.

Passo 4

Determinar, para x\in[-2,2], qual é a curva “topo” e qual é a “base”. Observação simples:
  • Para qualquer x com |x|\le 2, temos x^2\le 4. Então y=4 está acima de y=x^2 nesse intervalo.
    Logo \text{topo}(x)=4 e \text{base}(x)=x^2 para x\in[-2,2].

Passo 5

Montar a integral que representa a área:
\text{Área}=\int_{-2}^{2}\big(4 - x^2\big)\,dx.Á
Observação útil (economiza cálculo): a função 4-x^2 é par (porque depende de x^2), então a integral de -2 a 2 é o dobro da integral de 0 a 2. Ou seja,
\int_{-2}^{2}\big(4-x^2\big)\,dx = 2\int_{0}^{2}\big(4-x^2\big)\,dx.

Passo 6

Calcular a antiderivada (lembrando as regras básicas):
  • \displaystyle\int 4\,dx = 4x.
  • \displaystyle\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}.
Portanto uma antiderivada de 4-x^2 é
F(x)=4x-\frac{x^3}{3}.

Passo 7

Avaliar a integral definida usando F(x):
\int_{-2}^{2}\big(4-x^2\big)\,dx = \left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}.
Calculemos os valores:
F(2)=4\cdot 2 - \frac{2^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24-8}{3}=\frac{16}{3},
F(-2)=4\cdot(-2) - \frac{(-2)^3}{3} = -8 - \frac{-8}{3} = -8 + \frac{8}{3} = \frac{-24+8}{3}=\frac{-16}{3}.
Subtraindo:
\int_{-2}^{2}\big(4-x^2\big)\,dx = F(2)-F(-2)=\frac{16}{3} - \left(\frac{-16}{3}\right)=\frac{32}{3}.
(Se você preferir a via do passo 5 com simetria: 2\big(8-\tfrac{8}{3}\big)=2\cdot\frac{16}{3}=\frac{32}{3}, mesma resposta.)

Passo 8

Interpretação final: a área da região limitada pelas curvas y=x^2 e y=4 é \dfrac{32}{3} (unidades quadradas).

Resposta

\dfrac{32}{3}

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