Determine a área da região limitada pelas curvas y = \sqrt{x}, y = x e x = 4.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y=\sqrt{x}, y=x e a reta vertical x=4.\n
Informações dadas:
  • A curva y=\sqrt{x}.
  • A reta y=x.
  • A reta vertical x=4.
  • A região é a porção do plano fechada por essas três curvas (ou seja, a fronteira da região é formada por trechos de y=\sqrt{x}, y=x e por x=4).\n
    Pergunta explícita: calcular a área dessa região em unidades quadradas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre y=\sqrt{x} e y=x, porque eles delimitam onde uma curva fica acima da outra. Igualamos:
\sqrt{x}=x.
Elevando ambos os lados ao quadrado (atenção: aqui não introduzimos raízes negativas porque estamos no domínio x\ge0):
x=x^{2}.
Rearranjando:
x^{2}-x=0,
x(x-1)=0.
Portanto as soluções são x=0 e x=1. Os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Determinar qual curva é a “top” (acima) e qual é a “bottom” (abaixo) em cada intervalo de x relevante, para aplicar a fórmula da área entre curvas. Testamos um ponto em 0<x<1, por exemplo x=\tfrac{1}{4}:
\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2},\qquad \tfrac{1}{4}=0{,}25,
logo \sqrt{x}>x para 0<x<1. Para x>1, por exemplo x=4:
\sqrt{4}=2,\qquad 4=4,
logo x>\sqrt{x} para x>1. Conclusão:
  • No intervalo [0,1] a curva superior é y=\sqrt{x} e a inferior é y=x.
  • No intervalo [1,4] a curva superior é y=x e a inferior é y=\sqrt{x}.

Passo 4

Usar a fórmula da área entre curvas: se numa faixa a\le x\le b a curva superior é y_{\text{top}}(x) e a inferior é y_{\text{bot}}(x), então a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui a região precisa ser dividida em dois trechos (porque muda qual é a curva superior em x=1). Assim a área total A é soma de duas integrais:
A=\int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{x}-x\bigr)\,dx+\int_{1}^{4}\bigl(x-\sqrt{x}\bigr)\,dx.

Passo 5

Calcular as primitivas necessárias. Lembremos que para potências temos \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq-1). Assim:
\int \sqrt{x}\,dx=\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2},
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Portanto as primitivas usadas nas integrais são F_{1}(x)=\tfrac{2}{3}x^{3/2}-\tfrac{x^{2}}{2} para a diferença \sqrt{x}-x e F_{2}(x)=\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{2}{3}x^{3/2} para x-\sqrt{x} (é a mesma expressão com sinal trocado).

Passo 6

Calcular a primeira integral:
\int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{x}-x\bigr)\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}.
Avalia em 1:
\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\frac{1^{2}}{2}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{4-3}{6}=\frac{1}{6}.
Em 0 0. Logo a primeira área é \tfrac{1}{6}.

Passo 7

Calcular a segunda integral:
\int_{1}^{4}\bigl(x-\sqrt{x}\bigr)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{1}^{4}.
Avalia em x=4:
\frac{4^{2}}{2}-\frac{2}{3}\,4^{3/2}=\frac{16}{2}-\frac{2}{3}\cdot 8=8-\frac{16}{3}=\frac{24-16}{3}=\frac{8}{3}.
Avalia em x=1:
\frac{1^{2}}{2}-\frac{2}{3}\,1^{3/2}=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=\frac{3-4}{6}=-\frac{1}{6}.
Subtraindo:
\frac{8}{3}-\bigl(-\frac{1}{6}\bigr)=\frac{8}{3}+\frac{1}{6}=\frac{16+1}{6}=\frac{17}{6}.
Portanto a segunda área é \tfrac{17}{6}.

Passo 8

Somar as duas parcelas para obter a área total:
A=\frac{1}{6}+\frac{17}{6}=\frac{18}{6}=3.
Interpretação rápida: a região fechada pelas três curvas tem área igual a 3 unidades quadradas. Você pode imaginar que entre 0 e 1 a “bolha” é pequena ( 1/6) e entre 1 e 4 o espaço onde a reta y=x fica acima de y=\sqrt{x} é maior ( 17/6), somando 3.

Resposta

3

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