Determine a área da região limitada pelas curvas
,
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
,
e a reta vertical
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A curva
. - A reta
. - A reta vertical
. - A região é a porção do plano fechada por essas três curvas (ou seja, a fronteira da região é formada por trechos de
, e por ).\n
Pergunta explícita: calcular a área dessa região em unidades quadradas.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre
e
, porque eles delimitam onde uma curva fica acima da outra. Igualamos:
Elevando ambos os lados ao quadrado (atenção: aqui não introduzimos raízes negativas porque estamos no domínio
):
Rearranjando:
Portanto as soluções são
e
. Os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Determinar qual curva é a “top” (acima) e qual é a “bottom” (abaixo) em cada intervalo de
relevante, para aplicar a fórmula da área entre curvas. Testamos um ponto em
, por exemplo
:
logo
para
. Para
, por exemplo
:
logo
para
. Conclusão:
- No intervalo
a curva superior é e a inferior é . - No intervalo
a curva superior é e a inferior é .
Passo 4
Usar a fórmula da área entre curvas: se numa faixa
a curva superior é
e a inferior é
, então a área é
Aqui a região precisa ser dividida em dois trechos (porque muda qual é a curva superior em
). Assim a área total
é soma de duas integrais:
Passo 5
Calcular as primitivas necessárias. Lembremos que para potências temos
(para
). Assim:
Portanto as primitivas usadas nas integrais são
para a diferença
e
para
(é a mesma expressão com sinal trocado).
Passo 6
Calcular a primeira integral:
Avalia em
:
Em
dá
. Logo a primeira área é
.
Passo 7
Calcular a segunda integral:
Avalia em
:
Avalia em
:
Subtraindo:
Portanto a segunda área é
.
Passo 8
Somar as duas parcelas para obter a área total:
Interpretação rápida: a região fechada pelas três curvas tem área igual a
unidades quadradas. Você pode imaginar que entre
e
a “bolha” é pequena (
) e entre
e
o espaço onde a reta
fica acima de
é maior (
), somando
.