Determine a área da região limitada pelas curvas y = \frac{4}{2 - x}, y = x e x = 0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=\dfrac{4}{2-x}, y=x e x=0.
Informações dadas e pontos imediatamente identificáveis:
  • A reta vertical x=0 intersecta y=x em (0,0).
  • A reta vertical x=0 intersecta y=\dfrac{4}{2-x} em \left(0,\dfrac{4}{2-0}\right)= (0,2).
  • Precisamos também verificar onde se intersectam y=x e y=\dfrac{4}{2-x}, pois isso determina se as três curvas formam uma região fechada e finita.

Passo 2

Vamos calcular as interseções entre y=x e y=\dfrac{4}{2-x}. Igualando as duas expressões:
x=\frac{4}{2-x}.
Multiplicando ambos os lados por 2-x obtemos
x(2-x)=4.
Desenvolvendo,
2x-x^2=4\quad\Longrightarrow\quad x^2-2x+4=0.
Essa é uma equação quadrática com discriminante
\Delta = (-2)^2-4\cdot1\cdot4=4-16=-12<0.
Como \Delta<0, não existem raízes reais: portanto y=x e y=\dfrac{4}{2-x} não se intersectam em nenhum ponto real.

Passo 3

Interpretação geométrica do resultado do passo anterior: as três curvas só se encontram em dois pontos distintos com x=0: (0,0) na interseção de x=0 com y=x e (0,2) na interseção de x=0 com y=\dfrac{4}{2-x}. Não existe ponto de interseção entre y=x e y=\dfrac{4}{2-x}, então não há um terceiro vértice que feche a região. Para entender a posição relativa das curvas no intervalo 0\le x<2 observe a diferença
\frac{4}{2-x}-x=\frac{4- x(2-x)}{2-x}=\frac{x^2-2x+4}{2-x}.
O numerador x^2-2x+4 é sempre positivo (é exatamente a quadrática cuja discriminante vimos ser negativa), e no intervalo 0\le x<2 o denominador 2-x>0. Logo
\frac{4}{2-x}-x>0\quad\text{para todo }0\le x<2,
ou seja, a curva racional está sempre acima da reta y=x para 0\le x<2.

Passo 4

Com isso concluímos que, a partir de x=0 para a direita até x\to2^{-}, a região entre y=x (embaixo) e y=\dfrac{4}{2-x} (acima) existe, mas à medida que x se aproxima de 2 a curva racional tende a +\infty (tem assíntota vertical em x=2). Para demonstrar rigorosamente que a área é infinita, podemos escrever a integral da diferença (área entre curvas) de x=0 até x\to2^{-}:
\int_{0}^{2}\left(\frac{4}{2-x}-x\right)\,dx =4\int_{0}^{2}\frac{1}{2-x}\,dx-\int_{0}^{2}x\,dx.
O segundo integrando é finito, mas o primeiro diverge porque, com a substituição u=2-x,
4\int_{0}^{2}\frac{1}{2-x}\,dx=4\int_{2}^{0}\frac{-1}{u}\,du=4\int_{0}^{2}\frac{1}{u}\,du=4\bigl[\ln u\bigr]_{0}^{2}=+\infty.
Logo a integral (a área entre as curvas a partir de x=0 até a assíntota) diverge para +\infty.

Passo 5

Conclusão final: não existe região fechada e limitada pelas três curvas (faltam interseções entre y=x e y=\dfrac{4}{2-x}), e a região entre y=x e y=\dfrac{4}{2-x} à direita de x=0 estende-se até a assíntota vertical em x=2, produzindo área infinita.

Resposta

A área é infinita (a região não é limitada).

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