Determine a área da região limitada pelas curvas
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
,
e
.
Informações dadas e pontos imediatamente identificáveis:
Informações dadas e pontos imediatamente identificáveis:
- A reta vertical
intersecta em . - A reta vertical
intersecta em . - Precisamos também verificar onde se intersectam
e , pois isso determina se as três curvas formam uma região fechada e finita.
Passo 2
Vamos calcular as interseções entre
e
. Igualando as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Desenvolvendo,
Essa é uma equação quadrática com discriminante
Como
, não existem raízes reais: portanto
e
não se intersectam em nenhum ponto real.
Passo 3
Interpretação geométrica do resultado do passo anterior: as três curvas só se encontram em dois pontos distintos com
:
na interseção de
com
e
na interseção de
com
. Não existe ponto de interseção entre
e
, então não há um terceiro vértice que feche a região. Para entender a posição relativa das curvas no intervalo
observe a diferença
O numerador
é sempre positivo (é exatamente a quadrática cuja discriminante vimos ser negativa), e no intervalo
o denominador
. Logo
ou seja, a curva racional está sempre acima da reta
para
.
Passo 4
Com isso concluímos que, a partir de
para a direita até
, a região entre
(embaixo) e
(acima) existe, mas à medida que
se aproxima de
a curva racional tende a
(tem assíntota vertical em
). Para demonstrar rigorosamente que a área é infinita, podemos escrever a integral da diferença (área entre curvas) de
até
:
O segundo integrando é finito, mas o primeiro diverge porque, com a substituição
,
Logo a integral (a área entre as curvas a partir de
até a assíntota) diverge para
.
Passo 5
Conclusão final: não existe região fechada e limitada pelas três curvas (faltam interseções entre
e
), e a região entre
e
à direita de
estende-se até a assíntota vertical em
, produzindo área infinita.
Resposta
A área é infinita (a região não é limitada).