Uma força horizontal P de 670N é aplicada na extremidade D da alavanca ABD. Determine:
a) As tensões localizadas no ponto H;
b) Os planos principais e as tensões principais no ponto H.

Passo 1

O enunciado diz: uma força horizontal P de \,670\text{ N}\, é aplicada na extremidade D da alavanca ABD. Pede:
a) as tensões localizadas no ponto H;
b) os planos principais e as tensões principais no ponto H.
Informações explicitamente dadas:
\,P=670\text{ N}\, (força horizontal aplicada em D).
Informações necessárias que NÃO foram fornecidas (e que são imprescindíveis para obter valores numéricos em H):
  • a figura da alavanca (posições relativas de A,B,D,H, direções e pontos de apoio/engaste);
  • comprimentos / distâncias entre A,B,D,H (por exemplo \overline{AD},\overline{AB}, ou distância de H até a seção de corte);
  • tipo e geometria da seção transversal no ponto H (por exemplo circular, retangular) e suas propriedades geométricas: área A, momento(s) de inércia I (em relação ao(s) eixo(s) relevantes), momento polar J;
  • condições de apoio e ligações (engastada em A? pinos?).
    Sem esses dados geométricos e de amarração a questão NÃO PODE ser resolvida numericamente. Portanto não é possível fornecer os valores das tensões em H nem os ângulos/valores das tensões principais numericamente.
No entanto, para que você saiba exatamente o que fazer na prova se a figura e os dados estiverem disponíveis, eu vou explicar passo a passo e didaticamente o procedimento geral e as fórmulas que você deverá aplicar para obter (a) e (b). Assim, quando você tiver a figura/dados, será só aplicar.

Passo 2

Primeiro passo prático em qualquer problema assim: isolar um elemento cortado que passe pelo ponto H.
  • Faça um corte na barra/alavanca passando pelo ponto H (ou use a seção que contém o ponto H).
  • Desenhe o DCL (diagrama de corpo livre) da porção da estrutura à direita ou à esquerda do corte, incluindo a força P em D e as reações nos apoios.
    Objetivo: determinar os esforços internos no corte em H: força normal N, forças transversais V_y,V_z, momento fletor(s) M_y,M_z e torque/torsão T. Esses esforços são os que geram as tensões em H.
Como determinar esses esforços (resumo):
  • Usar equilíbrio estático: \sum F_x=0,\\ \sum F_y=0,\\ \sum F_z=0,\\ \sum M_x=0,\\ \sum M_y=0,\\ \sum M_z=0.
  • Ao tomar o corpo à direita (ou esquerda) do corte, calcule as reações e depois passe a calcular os resultantes internos na seção que atravessa H. Todos os momentos são calculados em função das distâncias indicadas na figura (por ex. alavancas: distância horizontal entre P e a seção que contém H).

Passo 3

Definir sistema de eixos e sinais (muito importante para não se perder):
  • Escolha um eixo longitudinal da barra como eixo x (por exemplo x ao longo da alavanca);
  • Eixos transversais y e z formando um sistema de direita (típico: y vertical, z lateral).
    Explique as convenções:
  • Força de tração/compresão: \,N (positiva se em tração).
  • Momento de flexão: M_y gera tensões \sigma_x variando com a coordenada z, M_z gera tensões variando com y.
  • Tensão de cisalhamento por corte transversal: resultante V (componentes V_y,V_z).
  • Torque: T causa tensões de cisalhamento circunferenciais \tau_{x\theta} (ou \tau_{xz},\tau_{xy} dependendo do eixo).

Passo 4

Fórmulas para as contribuições de tensão no ponto H (cada uma com sua “aula rápida”):
  1. Tensão normal por tração/compressão axial:
\sigma_{\text{axial}} = \frac{N}{A},
onde N é a força normal (positiva em tração) e A é a área da seção transversal. Interpretação: força por unidade de área.
  1. Tensão normal por flexão (curvatura) — fibra à distância y do eixo neutro:
\sigma_{\text{flexão}} = -\frac{M}{I}\,y,ã
onde M é o momento fletor em torno do eixo que faz variar a fibra em direção y (escolha o sinal de acordo com convenção), I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro, e y é a coordenada do ponto (distância da fibra ao eixo neutro). Observação: se houver momentos em dois planos ( M_y e M_z ), a contribuição normal total é soma das duas: \sigma_{\text{flexão}} = -\dfrac{M_y}{I_y} z \;-\; \dfrac{M_z}{I_z} yã (atenção ao sinal e eixos).
  1. Tensão de cisalhamento por corte transversal (componente de cisalhamento na seção plana, fórmula de Navier):
\tau_{\text{cisalhamento}} = \frac{V\,Q}{I\,b},
onde V é a força de corte (componente relevante, por ex. V_y), Q é o primeiro momento da área acima (ou abaixo) da fibra considerada em relação ao eixo neutro, I é o momento de inércia da seção inteira, e b é a largura local da seção naquele ponto. Explicação de Q: Q=\int_A y\,dA (ou soma equivalente) — é a “área vezes distância até o centroidade” da parte da seção.
  1. Tensão de cisalhamento por torsão (para seção circular ou uso de J):
\tau_{\text{torsão}} = \frac{T\,\rho}{J},ã
onde T é o torque (momento torçor), \rho é a distância radial do centro da seção até o ponto considerado, e J é o momento polar de inércia (para seção circular J=\dfrac{\pi d^4}{32}). Observação: para seções não circulares a distribuição é mais complexa (usar fórmulas específicas).

Passo 5

Como montar as componentes do tensor de tensões no plano da seção (assumindo um estado plano de tensões na seção longitudinal):
  • Normal na direção x (longitudinal): \displaystyle \sigma_x = \sigma_{\text{axial}} + \sigma_{\text{flexão}}ã. Seja explícito: some contribuição axial \frac{N}{A} e as contribuições da(s) flexão(ões) -\dfrac{M_y}{I_y}z e -\dfrac{M_z}{I_z}y dependendo de como os momentos agem.
  • Normal na direção perpendicular ao eixo x dentro da seção geralmente é \sigma_y\approx 0 (para viga delgada, ignoramos tensões normais nas direções y e z exceto as de flexão que já colocamos em \sigma_x).
  • Cisalhamento na seção: \tau_{xy} e \tau_{xz} obtidos por combinação das componentes de corte V (usando a fórmula \dfrac{VQ}{Ib}) e pela torsão (para a componente circunferencial, dependendo de coordenadas).
Assim o tensor em coordenadas do elemento (no plano) fica, por exemplo:
\begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xy}\\[4pt] \tau_{xy} & \sigma_y \end{pmatrix},
com \sigma_x e \tau_{xy} calculados conforme as fórmulas acima.]

Passo 6

Cálculo das tensões principais (a “aula” de como chegar nas respostas pedidas):
Método algébrico (2D, estado plano de tensões):
  • As tensões principais \sigma_1 e \sigma_2 são as raízes do polinômio característico e vêm da fórmula:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{\!2}+\tau_{xy}^{2}}.
Explique cada termo:
  • \sigma_x e \sigma_y são as tensões normais nas duas direções ortogonais do plano.
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento nesse plano.
  • O ângulo \theta_p entre o eixo x e o plano que contém a tensão principal (plano principal) satisfaz:
\tan 2\theta_p = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
  • Interprete: se \tau_{xy}=0, então os eixos já são eixos principais; caso contrário, resolva para \theta_p (lembre-se de considerar quadrantes corretamente, usando função arco-tangente com cuidado).
Método gráfico (Mohr):
  • Desenhe o círculo de Mohr com centro em \left(\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2},0\right) e raio R=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
  • As abscissas dos pontos mais à direita e à esquerda do círculo dão \sigma_1 e \sigma_2; a inclinação angular no círculo está relacionada com 2\theta_p.

Passo 7

Observações práticas e dicas de prova (coisas que costumam confundir):
  • Sempre verifique o sinal de M e a definição de y (distância medida sensivelmente): tensão de tração costuma ser positiva; mantenha consistência.
  • Para uma seção circular o cisalhamento por torsão é simples ( \tau=\dfrac{T\rho}{J}), mas para seção retangular o cálculo de \tau por torsão é diferente: para provas frequentemente a seção é circular ou pedem apenas a ordem de grandeza.
  • Se existirem ambos M_y e M_z você precisa somar suas contribuições para \sigma_x. Se houver N, some também.
  • Se \sigma_y for pequeno ou zero (caso comum em vigas longas), a fórmula para \sigma_{1,2} se simplifica com \sigma_y=0.

Passo 8

Exemplo simbólico (mostra como ficariam as expressões se você tivesse os dados):
  • Suponha que após cortar em H você obteve N, M_y, M_z, V_y, T, e que a seção tem A,I_y,I_z,J. No ponto H com coordenadas (y,z) medidas do centroide, então:
\sigma_x = \frac{N}{A} - \frac{M_y}{I_y}\,z - \frac{M_z}{I_z}\,y,
\tau_{xy} = \tau_{\text{cisalhamento por corte}} + \tau_{\text{torsão (comp.onal)}},ã
onde as parcelas são obtidas pelas fórmulas anteriores ( \dfrac{VQ}{Ib} e \dfrac{T\rho}{J} conforme aplicável). Depois calcule:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{\!2}+\tau_{xy}^{2}},
e o ângulo \theta_p por
\tan 2\theta_p = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
Isto é exatamente o algoritmo que você aplicará com números.

Passo 9

Resumo do procedimento prático que você deve aplicar assim que tiver a figura e os dados numéricos (passo-a-passo “na prova”):
  1. Leia a figura e marque distâncias; identifique apoios e carregamentos.
  2. Escolha a porção do corpo a cortar através de H.
  3. Faça o DCL e escreva equações de equilíbrio para obter reações (se necessário) e, em seguida, os esforços internos no corte: N,V,M,T.
  4. Determine as propriedades geométricas da seção em H: A,I_y,I_z,J e a posição do ponto H dentro da seção (valores de y,z,\rho,b,Q).
  5. Calcule \sigma_x (axial + flexão) e \tau_{xy} (cisalhamento por corte + torsão) usando as fórmulas mostradas.
  6. Calcule \sigma_1,\sigma_2 e \theta_p usando as fórmulas do passo 6 ou pelo círculo de Mohr.
  7. Verifique sinais e consistência (unidades).

Passo 10

Motivação e incentivo rápido: eu sei que parece muita coisa agora, mas o fluxo é repetitivo — equilibrar, obter N,V,M,T, aplicar fórmulas de tensão, usar a fórmula das tensões principais. Quando você tiver a figura e as distâncias, me envie que eu faço o cálculo numérico detalhado com você, passo a passo, e a gente chega nas tensões em H e nos planos principais rapidinho. Força aí — dá pra fazer!

Resposta

a) Não é possível determinar numericamente as tensões no ponto H porque a figura e os dados geométricos necessários (posições/distâncias de A,B,D,H, seção transversal, momentos de inércia I, momento polar J, etc.) não foram fornecidos.\n
b) Não é possível determinar numericamente os planos principais e as tensões principais no ponto H pelas mesmas razões (faltam a figura e os dados geométricos).

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