Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
. Informações dadas:
- Duas curvas no plano:
(parábola) e (reta). - A região limitada é a porção do plano que fica entre essas duas curvas onde elas se intersectam.
Pergunta clara: calcular a área dessa região limitada.
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção das curvas (esses pontos serão os limites da integração). Igualamos as duas expressões de
:
Resolvendo:
Logo as soluções são
e
. Esses são os valores de
onde as curvas se cruzam — serão os limites da integral.
Passo 3
Agora precisamos saber qual curva está “por cima” (maior
) entre
e
, porque a fórmula da área entre curvas usa sempre (topo) − (fundo). Compare as funções:
-
, -
.
Testando um ponto intermediário, por exemplo
:
então
em
. Como
é uma função contínua que muda de sinal somente nos pontos de interseção, concluímos que, para todo
em
, vale
. Portanto a reta
é a curva superior e a parábola
é a inferior nesse intervalo.
Passo 4
Fórmula e interpretação: a área
da região limitada, usando integrais definidas com fatias verticais, é
Aqui
e
, topo
, fundo
. Assim montamos a integral
Breve intuição: cada pequena faixa vertical de largura
tem altura aproximada
, então somando (integrando) essas áreas infinitesimais obtemos a área total.
Passo 5
Calcular a integral passo a passo. Primeiro achamos primitivas (antiderivadas):
Portanto a primitiva de
é
. Avaliando entre
e
:
Agora a conta final: