Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = 2x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=2x. Informações dadas:
  • Duas curvas no plano: y=x^{2} (parábola) e y=2x (reta).
  • A região limitada é a porção do plano que fica entre essas duas curvas onde elas se intersectam.
    Pergunta clara: calcular a área dessa região limitada.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção das curvas (esses pontos serão os limites da integração). Igualamos as duas expressões de y:
x^{2}=2x.
Resolvendo:
x^{2}-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)=0.
Logo as soluções são x=0 e x=2. Esses são os valores de x onde as curvas se cruzam — serão os limites da integral.

Passo 3

Agora precisamos saber qual curva está “por cima” (maior y) entre x=0 e x=2, porque a fórmula da área entre curvas usa sempre (topo) − (fundo). Compare as funções:
  • y_{\text{reta}}=2x,
  • y_{\text{parábola}}=x^{2}á.
Testando um ponto intermediário, por exemplo x=1:
2\cdot 1 = 2,\qquad 1^{2}=1,
então 2x > x^{2} em x=1. Como 2x-x^{2} é uma função contínua que muda de sinal somente nos pontos de interseção, concluímos que, para todo x em (0,2), vale 2x \ge x^{2}. Portanto a reta y=2x é a curva superior e a parábola y=x^{2} é a inferior nesse intervalo.

Passo 4

Fórmula e interpretação: a área A da região limitada, usando integrais definidas com fatias verticais, é
A=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\big(\text{topo} - \text{fundo}\big)\,dx.
Aqui x_{1}=0 e x_{2}=2, topo =2x, fundo =x^{2}. Assim montamos a integral
A=\int_{0}^{2}\big(2x - x^{2}\big)\,dx.
Breve intuição: cada pequena faixa vertical de largura dx tem altura aproximada 2x-x^{2}, então somando (integrando) essas áreas infinitesimais obtemos a área total.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo. Primeiro achamos primitivas (antiderivadas):
\int 2x\,dx = x^{2},\qquad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Portanto a primitiva de 2x-x^{2} é x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}. Avaliando entre 0 e 2:
A=\left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \left(2^{2}-\frac{2^{3}}{3}\right)-\left(0^{2}-\frac{0^{3}}{3}\right) = \left(4-\frac{8}{3}\right)-0.
Agora a conta final:
4-\frac{8}{3}=\frac{12}{3}-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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