Determine a área da região limitada pelas curvas
e
, de
a
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
no intervalo
até
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- As duas curvas são
e .\n - O intervalo em
é .\n - A região limitada é a parte do plano entre essas duas curvas para
entre e .
Passo 2
Primeiro determinamos os pontos de interseção das curvas (onde elas se encontram), pois esses pontos delimitam a região em
. Resolva
Colocando tudo num lado:
Fatore
:
E
fatoriza como
. Portanto as soluções são
Esses são exatamente os valores de
em que as curvas se encontram dentro de
.
Passo 3
Agora precisamos saber, em cada subintervalo, qual curva está “por cima” (maior
) para usar a diferença correta. Testamos um ponto em cada subintervalo:
- Para
, tome . Então e . Como , temos acima de nesse intervalo. - Para
, tome . Então e . Aqui está acima de .
Portanto a região entre
e
consiste de duas “fatias”: de
a
, o topo é
e o fundo é
; de
a
, o topo é
e o fundo é
.
Passo 4
Fórmula para a área entre duas curvas (explicação didática):
- Se
é a função que fica acima (maior ) e é a que fica abaixo, então a área da região entre elas no intervalo é
- Aqui
é a altura vertical da região num dado , e integrar soma essas alturas infinitesimais ao longo de . O operador significa “somar limites infinitesimais” e indica que estamos somando em .
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso, dividimos em dois integrais conforme a análise do Passo 3:
Observação: ambas as integrandas são a mesma função em módulo, apenas trocada de sinal; podemos calcular cada integral separadamente ou usar simetria (a função
é par em relação a
). Vou calcular cada integral passo a passo.
Passo 6
Calculamos primitivo (antiderivada) das funções usando a regra do poder: a antiderivada de
é
para
.
- Antiderivada de
é . - Antiderivada de
é .
Assim, uma antiderivada de
é
E uma antiderivada de
é
Passo 7
Avalie cada integral usando a antiderivada e o Teorema Fundamental do Cálculo.
Primeiro integral:
Calcule os valores nos extremos:
- Em
: - Em
:
Subtraindo (valor em 0 menos valor em -1):
Segundo integral:
Calcule os valores:
- Em
: - Em
:
Subtraindo:
Passo 8
Some as duas parcelas de área:
Também era possível observar simetria e fazer
.