Determine a área da região limitada pelas curvas y = x e y = x^3, de x = -1 a x = 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=x e y=x^3 no intervalo x=-1 até x=1.\n
Informações dadas:
  • As duas curvas são y=x e y=x^3.\n
  • O intervalo em x é [-1,1].\n
  • A região limitada é a parte do plano entre essas duas curvas para x entre -1 e 1.

Passo 2

Primeiro determinamos os pontos de interseção das curvas (onde elas se encontram), pois esses pontos delimitam a região em x. Resolva
x = x^3.
Colocando tudo num lado:
x^3 - x = 0.
Fatore x:
x(x^2 - 1) = 0.
E x^2-1 fatoriza como (x-1)(x+1). Portanto as soluções são
x=0,\; x=1,\; x=-1.
Esses são exatamente os valores de x em que as curvas se encontram dentro de [-1,1].

Passo 3

Agora precisamos saber, em cada subintervalo, qual curva está “por cima” (maior y) para usar a diferença correta. Testamos um ponto em cada subintervalo:
  • Para x\in(-1,0), tome x=-\tfrac{1}{2}. Então y=x=-\tfrac{1}{2} e y=x^3=-\tfrac{1}{8}. Como -\tfrac{1}{8}>-\tfrac{1}{2}, temos x^3 acima de x nesse intervalo.
  • Para x\in(0,1), tome x=\tfrac{1}{2}. Então y=x=\tfrac{1}{2} e y=x^3=\tfrac{1}{8}. Aqui x está acima de x^3.
Portanto a região entre -1 e 1 consiste de duas “fatias”: de -1 a 0, o topo é y=x^3 e o fundo é y=x; de 0 a 1, o topo é y=x e o fundo é y=x^3.

Passo 4

Fórmula para a área entre duas curvas (explicação didática):
  • Se f(x) é a função que fica acima (maior y) e g(x) é a que fica abaixo, então a área da região entre elas no intervalo [a,b] é
\text{Área}=\int_{a}^{b} \big(f(x)-g(x)\big)\,dx.Á
  • Aqui f(x)-g(x) é a altura vertical da região num dado x, e integrar soma essas alturas infinitesimais ao longo de x. O operador \int significa “somar limites infinitesimais” e dx indica que estamos somando em x.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso, dividimos em dois integrais conforme a análise do Passo 3:
\text{Área}=\int_{-1}^{0} \big(x^3 - x\big)\,dx + \int_{0}^{1} \big(x - x^3\big)\,dx.Á
Observação: ambas as integrandas são a mesma função em módulo, apenas trocada de sinal; podemos calcular cada integral separadamente ou usar simetria (a função |x-x^3| é par em relação a x). Vou calcular cada integral passo a passo.

Passo 6

Calculamos primitivo (antiderivada) das funções usando a regra do poder: a antiderivada de x^n é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • Antiderivada de x^3 é \dfrac{x^4}{4}.
  • Antiderivada de x é \dfrac{x^2}{2}.
Assim, uma antiderivada de x^3-x é
\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}.
E uma antiderivada de x-x^3 é
\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}.

Passo 7

Avalie cada integral usando a antiderivada e o Teorema Fundamental do Cálculo.
Primeiro integral:
\int_{-1}^{0} \big(x^3 - x\big)\,dx = \left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_{x=-1}^{x=0}.
Calcule os valores nos extremos:
  • Em x=0: \dfrac{0^4}{4}-\dfrac{0^2}{2}=0.
  • Em x=-1: \dfrac{(-1)^4}{4}-\dfrac{(-1)^2}{2}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{4}.
    Subtraindo (valor em 0 menos valor em -1):
0 - \left(-\tfrac{1}{4}\right)=\tfrac{1}{4}.
Segundo integral:
\int_{0}^{1} \big(x - x^3\big)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_{x=0}^{x=1}.
Calcule os valores:
  • Em x=1: \dfrac{1^2}{2}-\dfrac{1^4}{4}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}.
  • Em x=0: 0.
    Subtraindo:
\tfrac{1}{4}-0=\tfrac{1}{4}.

Passo 8

Some as duas parcelas de área:
\text{Área total}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.Á
Também era possível observar simetria e fazer 2\displaystyle\int_{0}^{1} (x-x^3)\,dx = 2\cdot \tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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