Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 2x + 1 e y = x + 1.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas \;y = x^2 - 2x + 1\; e \;y = x + 1\;.\n
Informações fornecidas:
  • As duas curvas são dadas explicitamente por funções de x: a parábola \;y = x^2 - 2x + 1\; e a reta \;y = x + 1\;.
  • A região limitada entre elas é a área no plano onde uma curva fica acima da outra entre os pontos de interseção. Precisamos encontrar esses pontos de interseção e calcular a integral da diferença (curva superior menos curva inferior) entre esses x-valores.
  • Não há unidades fornecidas, então daremos a área em unidades quadradas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção: resolver \;x^2 - 2x + 1 = x + 1\;.\n
Subtraindo \;x+1\; de ambos os lados:
x^2 - 2x + 1 - (x + 1) = 0.
Simplificando:
x^2 - 3x = 0.
Fatorando:
x(x-3)=0.
Logo os pontos de interseção em x são \;x=0\; e \;x=3\;. Calculando os correspondentes valores de y:
  • Para \;x=0\;: \;y=0+1=1\;.
  • Para \;x=3\;: \;y=3+1=4\;.

Passo 3

Determinar qual curva está acima entre \;x=0\; e \;x=3\;.\n
Escolhemos um ponto teste, por exemplo \;x=1\;:
  • Parábola: \;y_{\text{par}}(1)=1^2-2\cdot1+1=0\;.
  • Reta: \;y_{\text{ret}}(1)=1+1=2\;.
    Como \;2>0\;, a reta \;y=x+1\; está acima da parábola \;y=x^2-2x+1\; para valores entre os pontos de interseção. Portanto, a diferença (superior - inferior) é \;(x+1) - (x^2-2x+1).

Passo 4

Montar a integral que dá a área: a área A entre duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) de x=a até x=b é
A=\int_{a}^{b} \bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.
Aqui a=0, b=3, y_{\text{top}}(x)=x+1 e y_{\text{bot}}(x)=x^2-2x+1. Então:
A=\int_{0}^{3} \bigl((x+1)-(x^2-2x+1)\bigr)\,dx.

Passo 5

Simplificar a função integranda antes de integrar:
(x+1)-(x^2-2x+1)=x+1-x^2+2x-1=-x^2+3x.
Portanto
A=\int_{0}^{3} \bigl(-x^2+3x\bigr)\,dx.

Passo 6

Integrar termo a termo. Lembrete rápido das primitivas:
  • A primitiva de \;x^n\; é \;\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\; para n\neq -1.
  • A primitiva de ax é \dfrac{a}{2}x^2.
    Aplicando:
\int (-x^2+3x)\,dx = -\int x^2\,dx + 3\int x\,dx = -\frac{x^3}{3} + 3\cdot\frac{x^2}{2} = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2.

Passo 7

Avaliar a primitiva nos limites 0 e 3:
A=\left[-\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2\right]_{0}^{3}.
Calcular em x=3:
-\frac{1}{3}\cdot 3^3 + \frac{3}{2}\cdot 3^2 = -\frac{1}{3}\cdot 27 + \frac{3}{2}\cdot 9 = -9 + \frac{27}{2}.
Colocando sobre denominador comum 2:
-9 + \frac{27}{2} = -\frac{18}{2} + \frac{27}{2} = \frac{9}{2}.
Avaliar em x=0 0. Portanto
A=\frac{9}{2}.

Passo 8

Interpretação final e encorajamento: a área exata da região limitada pelas curvas é \dfrac{9}{2} unidades de área. Se quiser praticar, tente refazer o mesmo processo com outra parábola e reta para fixar: por exemplo compare \;y=x^2\; e \;y=2x\;.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2}

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