Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- As duas curvas são dadas explicitamente por funções de
: a parábola e a reta . - A região limitada entre elas é a área no plano onde uma curva fica acima da outra entre os pontos de interseção. Precisamos encontrar esses pontos de interseção e calcular a integral da diferença (curva superior menos curva inferior) entre esses
-valores. - Não há unidades fornecidas, então daremos a área em unidades quadradas.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção: resolver
.\n
Subtraindo de ambos os lados:
Subtraindo
Simplificando:
Fatorando:
Logo os pontos de interseção em
são
e
. Calculando os correspondentes valores de
:
- Para
: . - Para
: .
Passo 3
Determinar qual curva está acima entre
e
.\n
Escolhemos um ponto teste, por exemplo :
Escolhemos um ponto teste, por exemplo
- Parábola:
. - Reta:
.
Como, a reta está acima da parábola para valores entre os pontos de interseção. Portanto, a diferença (superior - inferior) é .
Passo 4
Montar a integral que dá a área: a área
entre duas curvas
e
de
até
é
Aqui
,
,
e
. Então:
Passo 5
Simplificar a função integranda antes de integrar:
Portanto
Passo 6
Integrar termo a termo. Lembrete rápido das primitivas:
- A primitiva de
é para . - A primitiva de
é .
Aplicando:
Passo 7
Avaliar a primitiva nos limites
e
:
Calcular em
:
Colocando sobre denominador comum
:
Avaliar em
dá
. Portanto
Passo 8
Interpretação final e encorajamento: a área exata da região limitada pelas curvas é
unidades de área. Se quiser praticar, tente refazer o mesmo processo com outra parábola e reta para fixar: por exemplo compare
e
.