Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
. Informações dadas:
- Curva 1:
. - Curva 2:
. - Queremos a área da região que fica entre essas duas curvas (a região fechada por suas interseções).
Passo 2
Primeiro precisamos achar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver a equação onde os dois
são iguais:
Subtraindo
dos dois lados e reorganizando, obtemos
Fatorando:
Logo as soluções são
Esses serão os limites de integração.
Passo 3
Antes de integrar, precisamos saber qual curva está acima (maior
) entre
e
, porque a área é
integrada. Testamos em um ponto interior, por exemplo
:
Como
, a reta
está acima da parábola
no intervalo
. Portanto o integrando será
.
Passo 4
Montamos a integral que dá a área
como a integral definida do topo menos o fundo, de
a
:
Simplificando o integrando:
Portanto
Explicação curta do porquê: a área entre duas curvas
e
com
é
; aqui
é a reta e
a parábola.
Passo 5
Agora calculamos a primitiva (antiderivada) de
. Regras básicas:
- A antiderivada de
é (para ). - A antiderivada de uma soma é a soma das antiderivadas.
Aplicando:
Portanto uma primitiva é
.
Passo 6
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos
nos limites
e
:
Calcule
:
Calcule
:
Então