Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 + 1 e y = 2x + 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^2 + 1 e y = 2x + 1. Informações dadas:
  • Curva 1: y = x^2 + 1.
  • Curva 2: y = 2x + 1.
  • Queremos a área da região que fica entre essas duas curvas (a região fechada por suas interseções).

Passo 2

Primeiro precisamos achar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver a equação onde os dois y são iguais:
x^2 + 1 = 2x + 1.
Subtraindo 1 dos dois lados e reorganizando, obtemos
x^2 - 2x = 0.
Fatorando:
x(x-2)=0.
Logo as soluções são
x=0 \quad\text{e}\quad x=2.
Esses serão os limites de integração.

Passo 3

Antes de integrar, precisamos saber qual curva está acima (maior y) entre x=0 e x=2, porque a área é \text{(curva de cima)} - \text{(curva de baixo)} integrada. Testamos em um ponto interior, por exemplo x=1:
\text{parábola: } y = 1^2+1 = 2,á
\text{reta: } y = 2\cdot1 + 1 = 3.
Como 3>2, a reta y=2x+1 está acima da parábola y=x^2+1 no intervalo [0,2]. Portanto o integrando será (2x+1) - (x^2+1).

Passo 4

Montamos a integral que dá a área A como a integral definida do topo menos o fundo, de x=0 a x=2:
A = \int_{0}^{2} \bigl((2x+1) - (x^2+1)\bigr)\,dx.
Simplificando o integrando:
(2x+1)-(x^2+1)=2x+1-x^2-1=2x-x^2.
Portanto
A = \int_{0}^{2} (2x - x^2)\,dx.
Explicação curta do porquê: a área entre duas curvas y=f(x) e y=g(x) com f(x)\ge g(x) é \int (f-g)\,dx; aqui f é a reta e g a parábola.

Passo 5

Agora calculamos a primitiva (antiderivada) de 2x - x^2. Regras básicas:
  • A antiderivada de x^n é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1).
  • A antiderivada de uma soma é a soma das antiderivadas.
    Aplicando:
\int (2x - x^2)\,dx = \int 2x\,dx - \int x^2\,dx = 2\cdot\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = x^2 - \frac{x^3}{3}.
Portanto uma primitiva é F(x)=x^2-\dfrac{x^3}{3}.

Passo 6

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos F nos limites 0 e 2:
A = F(2)-F(0).
Calcule F(2):
F(2)=2^2-\frac{2^3}{3}=4-\frac{8}{3}=\frac{12-8}{3}=\frac{4}{3}.
Calcule F(0):
F(0)=0^2-\frac{0^3}{3}=0.
Então
A = \frac{4}{3}-0=\frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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