Determine a área da região limitada pelas curvas
e
e a reta
.
Passo 1
O que o problema pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
e pela reta
.
Informações que o enunciado dá:
- A primeira curva é
. - A segunda curva é
. - A reta vertical de limite é
.
Nada mais foi dado explicitamente; a região solicitada é a área fechada pelas duas curvas e pela reta vertical mencionada.
Passo 2
Primeiro passo para fechar a região: encontrar o ponto (ou pontos) de interseção entre as duas curvas. Igualamos as expressões de
:
Multiplicando ambos os lados por
(assumindo
), obtemos
Substituindo em qualquer das curvas, obtemos
. Portanto as curvas se cruzam em
.
Passo 3
Agora precisamos saber, no intervalo entre o ponto de interseção
e a reta
, qual curva está acima (maior
) e qual está abaixo. Para
temos
, então
. Logo, no intervalo
a curva superior é
e a curva inferior é
.
Passo 4
Fórmula da área entre duas curvas verticalmente separadas: se
é a função superior e
a inferior no intervalo
, a área é
Aqui
,
,
(ponto de interseção) e
(reta dada). Então a área procurada é
Passo 5
Calcular a integral termo a termo. Lembrete de antiderivadas úteis:
-
(logaritmo natural). -
.
Aplicando isso ao integrando,
Calcule cada termo:
pois
.
Passo 6
Subtraindo os dois resultados obtemos a área:
Se quiser um valor numérico aproximado,
, então