Determine a área da região limitada pelas curvas y = 1/x e y = 1/x^2 e a reta x = 2.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y=\dfrac{1}{x} e y=\dfrac{1}{x^{2}} e pela reta x=2.
Informações que o enunciado dá:
  • A primeira curva é y=\dfrac{1}{x}.
  • A segunda curva é y=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • A reta vertical de limite é x=2.
Nada mais foi dado explicitamente; a região solicitada é a área fechada pelas duas curvas e pela reta vertical mencionada.

Passo 2

Primeiro passo para fechar a região: encontrar o ponto (ou pontos) de interseção entre as duas curvas. Igualamos as expressões de y:
\frac{1}{x}=\frac{1}{x^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2} (assumindo x\neq 0), obtemos
x = 1.
Substituindo em qualquer das curvas, obtemos y=1. Portanto as curvas se cruzam em (1,1).

Passo 3

Agora precisamos saber, no intervalo entre o ponto de interseção x=1 e a reta x=2, qual curva está acima (maior y) e qual está abaixo. Para x>1 temos x^{2}>x, então 1/x^{2}<1/x. Logo, no intervalo [1,2] a curva superior é y=\dfrac{1}{x} e a curva inferior é y=\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Fórmula da área entre duas curvas verticalmente separadas: se f(x) é a função superior e g(x) a inferior no intervalo [a,b], a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui f(x)=\dfrac{1}{x}, g(x)=\dfrac{1}{x^{2}}, a=1 (ponto de interseção) e b=2 (reta dada). Então a área procurada é
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral termo a termo. Lembrete de antiderivadas úteis:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln x (logaritmo natural).
  • \displaystyle \int x^{-2}\,dx=\int \frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}.
Aplicando isso ao integrando,
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx = \int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx - \int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,dx.
Calcule cada termo:
\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx=\bigl[\ln x\bigr]_{1}^{2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2,
pois \ln 1=0.
\int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\bigl[-\tfrac{1}{x}\bigr]_{1}^{2}=\left(-\tfrac{1}{2}\right)-\left(-1\right)=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Subtraindo os dois resultados obtemos a área:
\text{Área}=\ln 2 - \tfrac{1}{2}.Á
Se quiser um valor numérico aproximado, \ln 2\approx 0{,}693147, então
\text{Área}\approx 0{,}693147-0{,}5\approx 0{,}193147.Á

Resposta

\ln 2 - \tfrac{1}{2}

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