Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- Duas curvas explícitas:
e . - A região limitada é a parte do plano onde essas duas curvas se encontram e fecham uma região (há interseções entre elas).
- Ainda não sabemos os pontos de interseção nem qual curva fica acima da outra no intervalo de interesse — isso precisaremos determinar nos próximos passos.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre
e
. Para interseção, igualamos as duas expressões:
Como
está definida apenas para
, consideramos
. Para resolver, elevamos ambos os lados ao quadrado (isso é válido aqui porque ambos os lados são não-negativos):
Passando todos os termos para um lado:
Portanto as soluções são
e
. Ambas são válidas (e estão no domínio
), então as curvas se cruzam em
e
.
Passo 3
Determinar qual curva é a função superior (maior
) no intervalo entre as interseções
. Podemos testar um ponto simples, por exemplo
:
Como
, temos
em
. Para
isso é geral: a função
é maior que
nesse intervalo. Logo, no intervalo de
entre as interseções, a curva superior é
e a inferior é
.
Passo 4
Montar a expressão para a área entre duas curvas. A ideia física: cortar a região por tiras verticais de largura infinitesimal
; a área de cada tira é (altura)
(largura) = (função superior − função inferior)
. Assim a área
é a integral:
Aqui
e
, superior é
e inferior é
. Portanto
Passo 5
Calcular a integral passo a passo. Usamos a regra básica de potência para integrais: para
,
Aplicando com
para
e com
para
:
- antiderivada de
é , - antiderivada de
é .
Portanto
Avaliaremos nos extremos:
- em
: , - em
: ambos os termos são zero.
Subtraindo,
Colocando em denominador comum
:
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: a área da região limitada pelas curvas
e
(entre os pontos de interseção
e
) é
. Faz sentido pois a região é pequena e positiva.