Determine a área da região limitada pelas curvas y = \sqrt{x} e y = x.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas y=\sqrt{x} e y=x.
Informações dadas:
  • Duas curvas explícitas: y=\sqrt{x} e y=x.
  • A região limitada é a parte do plano onde essas duas curvas se encontram e fecham uma região (há interseções entre elas).
  • Ainda não sabemos os pontos de interseção nem qual curva fica acima da outra no intervalo de interesse — isso precisaremos determinar nos próximos passos.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre y=\sqrt{x} e y=x. Para interseção, igualamos as duas expressões:
\sqrt{x}=x.
Como \sqrt{x} está definida apenas para x\ge 0, consideramos x\ge 0. Para resolver, elevamos ambos os lados ao quadrado (isso é válido aqui porque ambos os lados são não-negativos):
(\sqrt{x})^2 = x^2 \quad\Rightarrow\quad x = x^2.
Passando todos os termos para um lado:
x^2 - x = 0 \quad\Rightarrow\quad x(x-1)=0.
Portanto as soluções são x=0 e x=1. Ambas são válidas (e estão no domínio x\ge 0), então as curvas se cruzam em x=0 e x=1.

Passo 3

Determinar qual curva é a função superior (maior y) no intervalo entre as interseções [0,1]. Podemos testar um ponto simples, por exemplo x=\tfrac{1}{4}:
\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2}\quad\text{e}\quad \tfrac{1}{4}.
Como \tfrac{1}{2}>\tfrac{1}{4}, temos \sqrt{x}>x em x=\tfrac{1}{4}. Para 0\le x\le 1 isso é geral: a função x^{1/2} é maior que x nesse intervalo. Logo, no intervalo de x entre as interseções, a curva superior é y=\sqrt{x} e a inferior é y=x.

Passo 4

Montar a expressão para a área entre duas curvas. A ideia física: cortar a região por tiras verticais de largura infinitesimal dx; a área de cada tira é (altura) \times (largura) = (função superior − função inferior) \cdot dx. Assim a área A é a integral:
A=\int_{a}^{b} \big(\text{superior}(x)-\text{inferior}(x)\big)\,dx.
Aqui a=0 e b=1, superior é \sqrt{x}=x^{1/2} e inferior é x. Portanto
A=\int_{0}^{1}\big(x^{1/2}-x\big)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo. Usamos a regra básica de potência para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=\tfrac{1}{2} para x^{1/2} e com n=1 para x:
  • antiderivada de x^{1/2} é \dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}x^{3/2},
  • antiderivada de x é \dfrac{x^{2}}{2}.
Portanto
A=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{1}.
Avaliaremos nos extremos:
  • em x=1: \dfrac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\dfrac{1}{2}\cdot 1^{2}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2},
  • em x=0: ambos os termos são zero.
Subtraindo,
A=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}.
Colocando em denominador comum 6:
A=\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=\frac{1}{6}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: a área da região limitada pelas curvas y=\sqrt{x} e y=x (entre os pontos de interseção x=0 e x=1) é \dfrac{1}{6}. Faz sentido pois a região é pequena e positiva.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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