Determine a área da região limitada pelas curvas y = e^x e y = e^{-x} de x = -1 a x = 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=e^{x} e y=e^{-x} no intervalo x\in[-1,1]. Informações dadas que vamos usar:
  • As duas curvas são y=e^{x} e y=e^{-x}.
  • O intervalo de integração é x=-1 até x=1.
  • Precisamos calcular a área entre as duas curvas sobre esse intervalo.

Passo 2

Para montar a integral da área, primeiro identificamos qual curva fica acima em cada parte do intervalo. Observe:
  • Para x>0 temos e^{x}>e^{-x}, então a curva superior é y=e^{x} e a inferior é y=e^{-x}.
  • Para x<0 ocorre o contrário: e^{-x}>e^{x}.
    Por isso podemos escrever a área como a soma de duas integrais:
\text{Área}=\int_{-1}^{0}\bigl(e^{-x}-e^{x}\bigr)\,dx+\int_{0}^{1}\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx.Á
Como a figura é simétrica em relação ao eixo y (as duas funções se trocam quando trocamos x por -x), podemos simplificar usando simetria:
\text{Área}=2\int_{0}^{1}\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx.Á

Passo 3

Agora vamos integrar a função \,e^{x}-e^{-x}. Lembrete rápido sobre antiderivadas:
  • A antiderivada de e^{x} é e^{x}.
  • A antiderivada de e^{-x} é -e^{-x}, pois \dfrac{d}{dx}(-e^{-x})=e^{-x}.
    Portanto uma antiderivada de \,e^{x}-e^{-x} é
F(x)=e^{x}+e^{-x}.
(Verifique derivando: F'(x)=e^{x}-e^{-x}, confere.)

Passo 4

Calcule a integral definida de 0 a 1 usando F(x):
\int_{0}^{1}\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx=F(1)-F(0)=\bigl(e^{1}+e^{-1}\bigr)-\bigl(e^{0}+e^{0}\bigr).
Como e^{0}=1, isso dá
\int_{0}^{1}\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx=e+e^{-1}-2.

Passo 5

Voltando à área total, multiplicamos por 2 (pela simetria encontrada no Passo 2):
\text{Área}=2\bigl(e+e^{-1}-2\bigr).Á

Passo 6

Fazendo uma verificação numérica rápida: e\approx2{,}7182818 e e^{-1}\approx0{,}3678794. Assim
\text{Área}\approx 2\bigl(2{,}7182818+0{,}3678794-2\bigr)\approx 2{,}172322.Á
A área é positiva como esperado e o procedimento faz sentido pela simetria das curvas.

Resposta

\displaystyle 2\bigl(e+e^{-1}-2\bigr)\approx 2{,}172322

Exercícios relacionados