Determine a área da região limitada pelas curvas
e
de
a
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
no intervalo
. Informações dadas que vamos usar:
- As duas curvas são
e . - O intervalo de integração é
até . - Precisamos calcular a área entre as duas curvas sobre esse intervalo.
Passo 2
Para montar a integral da área, primeiro identificamos qual curva fica acima em cada parte do intervalo. Observe:
- Para
temos , então a curva superior é e a inferior é . - Para
ocorre o contrário: .
Por isso podemos escrever a área como a soma de duas integrais:
Como a figura é simétrica em relação ao eixo
(as duas funções se trocam quando trocamos
por
), podemos simplificar usando simetria:
Passo 3
Agora vamos integrar a função
. Lembrete rápido sobre antiderivadas:
- A antiderivada de
é . - A antiderivada de
é , pois .
Portanto uma antiderivada deé
(Verifique derivando:
, confere.)
Passo 4
Calcule a integral definida de
a
usando
:
Como
, isso dá
Passo 5
Voltando à área total, multiplicamos por
(pela simetria encontrada no Passo 2):
Passo 6
Fazendo uma verificação numérica rápida:
e
. Assim
A área é positiva como esperado e o procedimento faz sentido pela simetria das curvas.