Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^3 e x = y^2.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y = x^3 e x = y^2.\n
Informações dadas e o que precisamos encontrar:\n
  • As duas curvas são y = x^3 e x = y^2.\n
  • Precisamos achar a área da região fechada onde as duas curvas se interceptam.\n
  • Primeiro passo necessário: encontrar os pontos de interseção (vértices da região). Depois escolher uma variável de integração ( x ou y ), determinar a curva que fica à direita e a que fica à esquerda (ou em cima/embaixo, caso escolha integrar em x ) e montar a integral apropriada para a área.

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção resolvendo o sistema
y = x^3,\qquad x = y^2.
Substituímos x da segunda na primeira:
y = (y^2)^3 = y^6.
Isso dá a equação
y^6 - y = 0 \quad\Rightarrow\quad y(y^5-1)=0.
As soluções reais são y=0 e y=1. Para cada uma obtemos x por x=y^2: para y=0 temos x=0; para y=1 temos x=1. Portanto os pontos de interseção (reais) são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Para decidir a melhor forma de integrar, escrevemos as curvas como x em função de y (útil para integrar em y):\n
  • Da equação y=x^3 obtemos x = y^{1/3} (a raiz real cúbica).\n
  • A outra curva já é x = y^2.\n
    Agora, para y entre 0 e 1, devemos saber qual das duas dá o valor de x maior (direita) e qual dá o menor (esquerda). Tomando um ponto teste y=\tfrac{1}{2} temos y^{1/3}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/3}\approx 0{,}79 e y^2=\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=0{,}25. Logo
x_{\text{direita}}=y^{1/3},\qquad x_{\text{esquerda}}=y^2
para 0\le y\le 1. Portanto integrar em y é natural aqui.

Passo 4

A fórmula para a área de uma região delimitada à esquerda por x_{\text{esq}}(y) e à direita por x_{\text{dir}}(y), entre y=a e y=b, é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(x_{\text{dir}}(y)-x_{\text{esq}}(y)\bigr)\,dy.Á
Aqui a=0, b=1, x_{\text{dir}}(y)=y^{1/3} e x_{\text{esq}}(y)=y^2. Assim a integral que dá a área é
\text{Área}=\int_{0}^{1}\bigl(y^{1/3}-y^2\bigr)\,dy.Á

Passo 5

Vamos calcular a integral termo a termo. Lembre-se da regra de potência para primitives: para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=\tfrac{1}{3} e n=2:
  • Para y^{1/3}: n=\tfrac{1}{3} então uma primitiva é \dfrac{y^{1/3+1}}{1/3+1}=\dfrac{y^{4/3}}{4/3}=\dfrac{3}{4}y^{4/3}.\n
  • Para y^{2}: n=2 então uma primitiva é \dfrac{y^{3}}{3}.
Portanto uma primitiva da integranda é \dfrac{3}{4}y^{4/3}-\dfrac{y^{3}}{3}.

Passo 6

Avaliamo-la nos limites y=0 a y=1:
\text{Área}=\left[\frac{3}{4}y^{4/3}-\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{3}{4}\cdot 1^{4/3}-\frac{1^{3}}{3}\right)-\left(\frac{3}{4}\cdot 0^{4/3}-\frac{0^{3}}{3}\right).Á
Como 1^{4/3}=1 e os termos em zero são nulos, obtemos
\text{Área}=\frac{3}{4}-\frac{1}{3}.Á
Fazendo a subtração com denominador comum 12:
\frac{3}{4}-\frac{1}{3}=\frac{9}{12}-\frac{4}{12}=\frac{5}{12}.

Resposta

\dfrac{5}{12}

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