Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
.\n
Informações dadas e o que precisamos encontrar:\n
Informações dadas e o que precisamos encontrar:\n
- As duas curvas são
e .\n - Precisamos achar a área da região fechada onde as duas curvas se interceptam.\n
- Primeiro passo necessário: encontrar os pontos de interseção (vértices da região). Depois escolher uma variável de integração (
ou ), determinar a curva que fica à direita e a que fica à esquerda (ou em cima/embaixo, caso escolha integrar em ) e montar a integral apropriada para a área.
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção resolvendo o sistema
Substituímos
da segunda na primeira:
Isso dá a equação
As soluções reais são
e
. Para cada uma obtemos
por
: para
temos
; para
temos
. Portanto os pontos de interseção (reais) são
e
.
Passo 3
Para decidir a melhor forma de integrar, escrevemos as curvas como
em função de
(útil para integrar em
):\n
- Da equação
obtemos (a raiz real cúbica).\n - A outra curva já é
.\n
Agora, paraentre e , devemos saber qual das duas dá o valor de maior (direita) e qual dá o menor (esquerda). Tomando um ponto teste temos e . Logo
para
. Portanto integrar em
é natural aqui.
Passo 4
A fórmula para a área de uma região delimitada à esquerda por
e à direita por
, entre
e
, é
Aqui
,
,
e
. Assim a integral que dá a área é
Passo 5
Vamos calcular a integral termo a termo. Lembre-se da regra de potência para primitives: para
,
Aplicando com
e
:
- Para
: então uma primitiva é .\n - Para
: então uma primitiva é .
Portanto uma primitiva da integranda é
.
Passo 6
Avaliamo-la nos limites
a
:
Como
e os termos em zero são nulos, obtemos
Fazendo a subtração com denominador comum
: