Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^3 - 3x e y = 0.

Passo 1

O enunciado pede: "Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x^3 - 3x e y = 0".
Informações dadas: a função que descreve a curva é y = x^3 - 3x e a outra curva é o eixo x (ou seja, y=0). A região limitada será a(s) parte(s) do plano onde a curva corta o eixo x e fica entre essas interseções.

Passo 2

Método escolhido: para achar a área entre uma curva y=f(x) e o eixo x devemos
  • encontrar os pontos de interseção (raízes) resolvendo f(x)=0;
  • determinar em quais intervalos f(x) é positiva ou negativa;
  • calcular a integral definida de |f(x)| entre as raízes (isto é, somar as integrais das parcelas onde f é positiva e as negativas com sinal trocado).
    Explicação didática: a área sob a curva que está acima do eixo x é \int f(x)\,dx (positivo), e quando a curva está abaixo do eixo o valor da integral é negativo, então para obter área tomamos o valor absoluto, isto é, -\int f(x)\,dx nesses trechos. Para integrar polinômios usamos a regra das potências: \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 3

Encontrar as interseções resolvendo
x^3-3x=0.
Fatorando:
x^3-3x = x(x^2-3)=0.
Logo as raízes são
x=0,\quad x=\sqrt{3},\quad x=-\sqrt{3}.

Passo 4

Determinar o sinal de f(x)=x^3-3x nos intervalos formados pelas raízes:
  • Para x em (-\sqrt{3},0), experimente x=-1: f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2>0. Então f>0 em (-\sqrt{3},0).
  • Para x em (0,\sqrt{3}), experimente x=1: f(1)=1-3=-2<0. Então f<0 em (0,\sqrt{3}).
    Conclusão: há duas “lacinhas” simétricas em torno de x=0: a à esquerda (positivo) e a à direita (negativo).

Passo 5

Montar a integral que dá a área total. Como a função muda de sinal em x=0, a área total é
\text{Área}=\int_{-\sqrt{3}}^{0} (x^3-3x)\,dx \;-\;\int_{0}^{\sqrt{3}} (x^3-3x)\,dx,Á
onde no segundo termo trocamos o sinal porque a função é negativa ali (ou seja, somamos o valor absoluto). Observação de economia: f é uma função ímpar ( f(-x)=-f(x)), logo as duas áreas têm o mesmo valor absoluto; assim podemos calcular apenas a área em [0,\sqrt{3}] e multiplicar por 2:
\text{Área}=2\cdot \int_{0}^{\sqrt{3}} \bigl(-x^3+3x\bigr)\,dx.Á

Passo 6

Calcular a integral em [0,\sqrt{3}]. Primeiro a primitiva de -x^3+3x é
\int \bigl(-x^3+3x\bigr)\,dx = -\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}+C.
Avaliaremos de 0 a \sqrt{3}:
\Bigl[-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}\Bigr]_{0}^{\sqrt{3}} = \left(-\frac{(\sqrt{3})^4}{4}+\frac{3(\sqrt{3})^2}{2}\right)-0.
Calcule os termos: (\sqrt{3})^2=3 e (\sqrt{3})^4=9. Então
-\frac{9}{4}+\frac{3\cdot 3}{2} = -\frac{9}{4}+\frac{9}{2} = -\frac{9}{4}+\frac{18}{4}=\frac{9}{4}.
Portanto a área de [0,\sqrt{3}] é \dfrac{9}{4}. Multiplicando por 2 (simetria) obtemos a área total:
\text{Área} = 2\cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}.Á

Resposta

\dfrac{9}{2}

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