Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: "Determinar a área da região limitada pelas curvas
e
".
Informações dadas: a função que descreve a curva é e a outra curva é o eixo
(ou seja,
). A região limitada será a(s) parte(s) do plano onde a curva corta o eixo
e fica entre essas interseções.
Informações dadas: a função que descreve a curva é
Passo 2
Método escolhido: para achar a área entre uma curva
e o eixo
devemos
- encontrar os pontos de interseção (raízes) resolvendo
; - determinar em quais intervalos
é positiva ou negativa; - calcular a integral definida de
entre as raízes (isto é, somar as integrais das parcelas onde é positiva e as negativas com sinal trocado).
Explicação didática: a área sob a curva que está acima do eixoé (positivo), e quando a curva está abaixo do eixo o valor da integral é negativo, então para obter área tomamos o valor absoluto, isto é, nesses trechos. Para integrar polinômios usamos a regra das potências: .
Passo 3
Encontrar as interseções resolvendo
Fatorando:
Logo as raízes são
Passo 4
Determinar o sinal de
nos intervalos formados pelas raízes:
- Para
em , experimente : . Então em . - Para
em , experimente : . Então em .
Conclusão: há duas “lacinhas” simétricas em torno de: a à esquerda (positivo) e a à direita (negativo).
Passo 5
Montar a integral que dá a área total. Como a função muda de sinal em
, a área total é
onde no segundo termo trocamos o sinal porque a função é negativa ali (ou seja, somamos o valor absoluto). Observação de economia:
é uma função ímpar (
), logo as duas áreas têm o mesmo valor absoluto; assim podemos calcular apenas a área em
e multiplicar por 2:
Passo 6
Calcular a integral em
. Primeiro a primitiva de
é
Avaliaremos de
a
:
Calcule os termos:
e
. Então
Portanto a área de
é
. Multiplicando por
(simetria) obtemos a área total: