Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: "Determinar a área da região limitada pelas curvas
e
". Informações dadas que vamos usar:
- As duas funções são
e . - Queremos a área da região limitada por essas curvas, ou seja, a área do conjunto de pontos
que estão entre as duas curvas e que formam uma região fechada.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção (esses pontos serão os limites de integração se houver uma região fechada). Para isso igualamos as duas funções:
Agora resolvemos essa equação. Somando
dos dois lados ou reordenando:
Fatorando o fator comum
:
Reconhecemos
, então
Substituindo em qualquer das curvas para obter
:
Portanto as curvas se encontram apenas no ponto
.
Passo 3
Explicando a ideia do cálculo da área entre curvas (mini-aula): se duas curvas
top
e
bottom
se interceptam em
e
com
e top
bottom
para
, a área entre elas é dada por
Aqui cada item significa:
-
e são as abscissas (valores de ) dos pontos onde as curvas se cruzam; -
é a função que fica acima da outra no intervalo ; -
é a que fica abaixo; - A integral soma as “fatias verticais” de área
.
Se as curvas só tiverem um ponto em comum (
), o intervalo de integração tem comprimento zero e a integral (logo a área) é zero.
Passo 4
Identificar qual função está acima da outra. Calculamos a diferença:
Como
para todo
e é zero somente em
, concluímos que
para todo
e que as duas curvas se tocam apenas em
. Assim
é a “top” e
é a “bottom”, mas não existe um intervalo não degenerado
com
onde elas se cruzem nos extremos.
Passo 5
Aplicando a fórmula da área entre curvas: os pontos de interseção encontrados em
Passo 6
Uma integral com limites iguais é zero, portanto
Passo 7
Interpretação final e observação didática: geometricamente, as duas parábolas são simétricas em relação ao eixo
passando pelo vértice comum
: uma abre para cima, a outra para baixo, e elas apenas se tocam naquele ponto, sem formar uma região com área positiva. Se você quiser ver um exemplo em que há área não nula, considere
e
: essas se cruzam em
e a área entre elas seria
, que dá um valor positivo.
Resposta
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