Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 2x + 1 e y = -x^2 + 2x - 1.

Passo 1

O enunciado pede: "Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 2x + 1 e y = -x^2 + 2x - 1". Informações dadas que vamos usar:
  • As duas funções são f(x)=x^2-2x+1 e g(x)=-x^2+2x-1.
  • Queremos a área da região limitada por essas curvas, ou seja, a área do conjunto de pontos (x,y) que estão entre as duas curvas e que formam uma região fechada.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção (esses pontos serão os limites de integração se houver uma região fechada). Para isso igualamos as duas funções:
x^2-2x+1 = -x^2+2x-1.
Agora resolvemos essa equação. Somando x^2-2x+1 dos dois lados ou reordenando:
x^2-2x+1 + x^2-2x+1 = 0,
2x^2 -4x +2 = 0.
Fatorando o fator comum 2:
2(x^2-2x+1)=0.
Reconhecemos x^2-2x+1=(x-1)^2, então
2(x-1)^2=0 \quad\Rightarrow\quad (x-1)^2=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Substituindo em qualquer das curvas para obter y:
y = (1)^2 -2\cdot1 +1 = 1-2+1 = 0.
Portanto as curvas se encontram apenas no ponto (1,0).

Passo 3

Explicando a ideia do cálculo da área entre curvas (mini-aula): se duas curvas y= top (x) e y= bottom (x) se interceptam em x=a e x=b com a<b e top (x)\ge bottom (x) para x\in[a,b], a área entre elas é dada por
A=\int_{a}^{b}\big(\text{top}(x)-\text{bottom}(x)\big)\,dx.
Aqui cada item significa:
  • a e b são as abscissas (valores de x) dos pontos onde as curvas se cruzam;
  • \text{top}(x) é a função que fica acima da outra no intervalo [a,b];
  • \text{bottom}(x) é a que fica abaixo;
  • A integral soma as “fatias verticais” de área \big(\text{top}(x)-\text{bottom}(x)\big)\,dx.
Se as curvas só tiverem um ponto em comum ( a=b), o intervalo de integração tem comprimento zero e a integral (logo a área) é zero.

Passo 4

Identificar qual função está acima da outra. Calculamos a diferença:
f(x)-g(x) = \big(x^2-2x+1\big) - \big(-x^2+2x-1\big) = 2x^2-4x+2 = 2(x-1)^2.
Como 2(x-1)^2\ge 0 para todo x e é zero somente em x=1, concluímos que f(x)\ge g(x) para todo x e que as duas curvas se tocam apenas em x=1. Assim f é a “top” e g é a “bottom”, mas não existe um intervalo não degenerado [a,b] com a<b onde elas se cruzem nos extremos.

Passo 5

Aplicando a fórmula da área entre curvas: os pontos de interseção encontrados em

Passo 6

A=\int_{1}^{1}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx = \int_{1}^{1} 2(x-1)^2\,dx.
Uma integral com limites iguais é zero, portanto
A=0.

Passo 7

Interpretação final e observação didática: geometricamente, as duas parábolas são simétricas em relação ao eixo y passando pelo vértice comum (1,0): uma abre para cima, a outra para baixo, e elas apenas se tocam naquele ponto, sem formar uma região com área positiva. Se você quiser ver um exemplo em que há área não nula, considere y=x^2 e y=2-x^2: essas se cruzam em x=\pm1 e a área entre elas seria \int_{-1}^{1}\big(2-x^2 - x^2\big)\,dx=\int_{-1}^{1}(2-2x^2)\,dx, que dá um valor positivo.

Resposta

0

Exercícios relacionados