Determine a área de:
um retângulo de diagonal 5 \sqrt{2} \mathrm{~cm} e altura 3 \sqrt{2} \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede a área de um retângulo e fornece duas informações:
  • a diagonal vale 5\sqrt{2}\\ \mathrm{cm};
  • a altura (um dos lados) vale 3\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}.
Pergunta explícita: calcular a área do retângulo usando os dados fornecidos.

Passo 2

Idea principal que vamos usar (explicação didática): em um retângulo, a diagonal forma com os dois lados um triângulo retângulo. Isso significa que os comprimentos satisfazem o Teorema de Pitágoras, que diz que, para um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.
  • Denotando a diagonal por d, a altura por h e a base (largura) por b, o Teorema de Pitágoras escreve-se:
d^{2}=h^{2}+b^{2}.
Aqui:
  • d é o comprimento da diagonal (hipotenusa do triângulo retângulo);
  • h é a altura (um cateto);
  • b é a base (o outro cateto), que ainda não conhecemos.
Exemplo rápido e intuitivo: se h=3 e b=4, então d^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25 e d=5 — é o famoso triângulo 3- 4- 5.

Passo 3

Aplicando o Teorema de Pitágoras com os valores dados. Primeiro calculamos os quadrados:
d^{2}=(5\sqrt{2})^{2}=5^{2}\cdot(\sqrt{2})^{2}=25\cdot 2=50.
h^{2}=(3\sqrt{2})^{2}=3^{2}\cdot(\sqrt{2})^{2}=9\cdot 2=18.
Agora usamos d^{2}=h^{2}+b^{2} para achar b^{2}:
b^{2}=d^{2}-h^{2}=50-18=32.

Passo 4

Tirando raiz para obter a base b:
b=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}.
Explicação curta sobre simplificação de radicais: fatorou-se 32 em 16\cdot2, reconheceu-se \sqrt{16}=4, sobrando \sqrt{2}.

Passo 5

Agora calculamos a área A do retângulo: a fórmula é
A=b\cdot h.
Substituindo os valores encontrados:
A=(4\sqrt{2})\cdot(3\sqrt{2}).
Multiplicando: primeiro os coeficientes 4\cdot 3=12, depois \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=(\sqrt{2})^{2}=2. Logo
A=12\cdot 2=24\\ \mathrm{cm}^{2}.

Resposta

24\\ \mathrm{cm}^{2}

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