que é exatamente a segunda equação dada. Logo, a segunda equação não traz informação nova — ela é um múltiplo da primeira. Isso significa que o sistema efetivamente tem apenas duas equações independentes com três incógnitas, então devemos esperar infinitas soluções parametrizadas (um grau de liberdade).
Explicação rápida do conceito usado: quando uma equação é múltiplo escalar de outra, as duas são dependentes linearmente e só contam como uma condição independente.
Passo 3
Reduzindo o sistema às duas equações independentes: podemos manter a primeira e a terceira:
Agora vamos eliminar uma incógnita fazendo operações entre essas equações. Subtraindo a segunda (a terceira original) da primeira:
(x+y+z)-(x-y+z)=3-1.
Desenvolvendo a esquerda temos:
x+y+z-x+y-z = 2y.
E a direita é 2. Portanto
2y=2 \quad\Rightarrow\quad y=1.]
Passo 4
Com y=1 usamos qualquer das duas equações independentes para relacionar x e z. Usando a terceira equação (ou a primeira, dá o mesmo):
x - y + z = 1.
Substituindo y=1:
x - 1 + z = 1 \quad\Rightarrow\quad x+z = 2.
Isso nos dá uma relação entre x e z. Como havia mais incógnitas do que equações independentes, teremos uma variável livre. Escolhemos parametrizar a solução deixando z como parâmetro livre.
Explicação didática: aqui \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} é uma solução particular do sistema (obtida por escolher t=0, ou seja z=0), e \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} é um vetor da solução do sistema homogêneo associado (direção ao longo da qual se pode variar mantendo as equações satisfeitas). O parâmetro t percorre todas as soluções.]
Passo 6
Verificação rápida: substituindo x=2-t, y=1, z=t nas equações originais:
x+y+z = (2-t)+1+t = 3,
2x+2y+2z = 2\cdot 3 = 6,
x-y+z = (2-t)-1+t = 1.
Todas são satisfeitas para todo t. Portanto a solução está correta.