\left\{\begin{array}{l} x+y+z=3 \\\\ 2 x+2 y+2 z=6 \\\ x-y+z=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte sistema de três equações com três incógnitas:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=3 \\[4pt] 2x+2y+2z=6 \\[4pt] x-y+z=1 \end{array}\right.
O que o problema pede: encontrar todos os tripletos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente essas três equações (ou seja, resolver o sistema).
Informações relevantes fornecidas:
\;x,y,z são as variáveis desconhecidas.
As três equações são exatamente as listadas acima.]

Passo 2

Observação inicial sobre as equações (redundância):
Vamos comparar a segunda equação com a primeira. Multiplicando a primeira equação por 2 obtemos
2(x+y+z)=2\cdot 3 \quad\Rightarrow\quad 2x+2y+2z=6,
que é exatamente a segunda equação dada. Logo, a segunda equação não traz informação nova — ela é um múltiplo da primeira. Isso significa que o sistema efetivamente tem apenas duas equações independentes com três incógnitas, então devemos esperar infinitas soluções parametrizadas (um grau de liberdade).
Explicação rápida do conceito usado: quando uma equação é múltiplo escalar de outra, as duas são dependentes linearmente e só contam como uma condição independente.

Passo 3

Reduzindo o sistema às duas equações independentes: podemos manter a primeira e a terceira:
\begin{cases} x+y+z=3,\\[4pt] x-y+z=1. \end{cases}
Agora vamos eliminar uma incógnita fazendo operações entre essas equações. Subtraindo a segunda (a terceira original) da primeira:
(x+y+z)-(x-y+z)=3-1.
Desenvolvendo a esquerda temos:
x+y+z-x+y-z = 2y.
E a direita é 2. Portanto
2y=2 \quad\Rightarrow\quad y=1.]

Passo 4

Com y=1 usamos qualquer das duas equações independentes para relacionar x e z. Usando a terceira equação (ou a primeira, dá o mesmo):
x - y + z = 1.
Substituindo y=1:
x - 1 + z = 1 \quad\Rightarrow\quad x+z = 2.
Isso nos dá uma relação entre x e z. Como havia mais incógnitas do que equações independentes, teremos uma variável livre. Escolhemos parametrizar a solução deixando z como parâmetro livre.
Defina o parâmetro \;t\in\mathbb{R} e escreva
z=t.
Então de x+z=2 vem
x = 2 - z = 2 - t.
E já temos y=1. Portanto a solução geral é
x=2-t,\qquad y=1,\qquad z=t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Forma vetorial (útil para visualizar): podemos escrever a família de soluções como
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}, \qquad t\in\mathbb{R}.
Explicação didática: aqui \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} é uma solução particular do sistema (obtida por escolher t=0, ou seja z=0), e \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} é um vetor da solução do sistema homogêneo associado (direção ao longo da qual se pode variar mantendo as equações satisfeitas). O parâmetro t percorre todas as soluções.]

Passo 6

Verificação rápida: substituindo x=2-t, y=1, z=t nas equações originais:
x+y+z = (2-t)+1+t = 3,
2x+2y+2z = 2\cdot 3 = 6,
x-y+z = (2-t)-1+t = 1.
Todas são satisfeitas para todo t. Portanto a solução está correta.

Resposta

\displaystyle x=2-t,\; y=1,\; z=t,\; t\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados