Determine a área da superfície do cilindro 
  limitada pelo plano 
  e o cone 
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para determinar a área da superfície de um cilindro dado pela equação 
 , que está limitada pelo plano 
  e pelo cone 
 . Aqui, vamos trabalhar com geometria espacial, especificamente com áreas de superfícies curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cilindro e integrar a área usando cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cilindro 
 . Esse é um cilindro circular de raio 1, mas deslocado 1 unidade ao longo do eixo x. Ou seja, o centro da base do cilindro está em (1, 0, z).
Passo 3
Agora, vamos olhar para o cone 
 . Esse é um cone com seu vértice na origem (0,0,0) e que se abre para cima. Para encontrar a área da superfície do cilindro entre o plano 
  e esse cone, precisamos determinar até onde o cilindro e o cone se cruzam.
Passo 4
Para encontrar a interseção entre o cilindro e o cone, igualamos as equações:
Vamos resolver isso para encontrar os limites de integração.
Passo 5
Explicando as equações:
- A equação do cilindro 
descreve um círculo de raio 1 no plano xy, deslocado para x=1.  - A equação do cone 
relaciona z com a distância do ponto (x,y) à origem.  
Passo 6
Substituindo 
  na equação do cone:
Como 
 , expandindo:
Então:
Passo 7
Agora, precisamos parametrizar a superfície do cilindro. Como o cilindro é circular e alinhado ao eixo z, usamos coordenadas cilíndricas. Definimos:
Onde 
  varia de 0 a 
  para cobrir toda a circunferência.
Passo 8
Para encontrar a área da superfície do cilindro entre 
  e 
 , usamos a fórmula da área para parametrizações:
Onde 
  e 
  são as derivadas parciais da parametrização em relação a 
  e 
 , respectivamente.
Passo 9
Calculando as derivadas:
O produto vetorial 
  é:
A norma desse vetor é:
Passo 10
Então, a área da superfície é:
Aqui, 
  varia de 0 até 
 .
Passo 11
Integrando primeiro em relação a 
 :
Então, a área fica:
Passo 12
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Usando a identidade trigonométrica 
 , temos:
Como 
  é positivo para 
 , e negativo para 
 , o valor absoluto nos permite escrever:
Passo 13
Dividindo a integral em duas partes onde o cosseno é positivo e negativo:
Passo 14
Calculando cada integral:
Para 
 :
Para 
 :
Passo 15
Substituindo os limites:
Sabemos que 
  e 
 , então:
Resposta
A área da superfície do cilindro limitada pelo plano 
  e o cone 
  é igual a 
  unidades de área.