Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
 
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem 
  com as condições iniciais 
  e 
 . Para isso, precisamos usar os métodos de resolução de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos encontrar a solução geral da equação e depois determinar os valores das constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo 
  por 
 , o que nos leva a:
Passo 3
Resolvemos a equação quadrática 
  usando a fórmula de Bhaskara. Calculamos o discriminante (
 ):
Como o discriminante é negativo (
 ), as raízes serão complexas.
Passo 4
Encontramos as raízes complexas da equação característica:
Isso significa que temos raízes 
 , onde 
  e 
 .
Passo 5
A solução geral da equação diferencial com raízes complexas é dada por:
Substituindo 
  e 
 :
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes 
  e 
 .
Primeiro, aplicamos 
 :
Então, 
 .
Passo 7
Em seguida, derivamos 
  para aplicar a condição 
 :
Simplificando:
Aplicando 
 :
Sabemos que 
 , então:
Resposta
A solução particular da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: