Seja 
  uma série convergente e 
  uma sequência limitada.
$© É verdade que 
  também converge?
$© É verdade que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série 
  que é convergente, ou seja, ela soma até um valor finito. Também sabemos que 
  é uma sequência limitada, o que significa que seus termos não crescem sem limite. A pergunta é: será que a série dos quadrados dessa série original, 
 , também converge?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser convergente. Uma série 
  converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número específico à medida que adicionamos mais termos. Agora, quando falamos de 
 , estamos olhando para a soma dos quadrados desses mesmos termos.
Passo 3
Para saber se 
  converge, podemos usar um teste de comparação. Sabemos que se 
  converge, então os termos 
  tendem a zero quando 
  aumenta. Ou seja, 
  quando 
 .
Passo 4
Como 
 , os termos 
  também vão para zero, e de fato, eles vão para zero mais rápido porque estamos elevando ao quadrado. Mas isso por si só não garante que a série dos quadrados vai convergir.
Passo 5
Aqui entra o Teste da Série Comparativa. Sabemos que se 
  e 
  converge, então 
  também converge. No nosso caso, como 
  se aproxima de zero, para grandes valores de 
 , 
  será menor que 
 .
Passo 6
Portanto, aplicando o Teste da Série Comparativa, já que 
  converge e 
  para 
  suficientemente grande, concluímos que 
  também converge.
Resposta
Sim, a série 
  também converge.