Determine a área da superfície.
O helicoide (ou rampa em espiral) com equação vetorial \mathbf{r}(u, v)=u \cos v \mathbf{i}+u \operatorname{sen} v \mathbf{j}+v \mathbf{k}, 0 \leqslant u \leqslant 1,0 \leqslant v \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície parametrizada pelo helicoide \mathbf{r}(u,v) = \bigl(u\cos v,\;u\sin v,\;v\bigr),
com 0 \le u \le 1 e 0 \le v \le \pi.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da área de superfície parametrizada:
A = \iint_{D} \bigl\lVert \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \bigr\rVert \,du\,dv,
onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais de \mathbf{r}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
\mathbf{r}_u(u,v) = \bigl(\cos v,\;\sin v,\;0\bigr), \quad \mathbf{r}_v(u,v) = \bigl(-u\sin v,\;u\cos v,\;1\bigr).

Passo 3

Formar o produto vetorial \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v:
\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \cos v & \sin v & 0 \\\\ -\,u\sin v & u\cos v & 1 \end{vmatrix} = \bigl(\sin v,\;-\,\cos v,\;u\bigr).

Passo 4

Obter o módulo do vetor:
\bigl\lVert \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v \bigr\rVert = \sqrt{\sin^2 v + \cos^2 v + u^2} = \sqrt{1 + u^2}.

Passo 5

Montar o integral de área usando o fato de que não há dependência de v no módulo:
A = \int_{v=0}^{\pi} \int_{u=0}^{1} \sqrt{1 + u^2}\,du\,dv = \Bigl(\int_{v=0}^{\pi}\!dv\Bigr)\,\Bigl(\int_{u=0}^{1}\sqrt{1+u^2}\,du\Bigr) = \pi \int_{0}^{1}\sqrt{1+u^2}\,du.

Passo 6

Calcular o integral em u:
\int \sqrt{1+u^2}\,du = \frac{u\sqrt{1+u^2}}{2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(u + \sqrt{1+u^2}\bigr) + C.
Avaliado de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\sqrt{1+u^2}\,du = \frac{1\cdot\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr) - \bigl(0 + \frac{1}{2}\ln(0+1)\bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).
Multiplicando por \pi
A = \pi\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})\Bigr) = \frac{\pi}{2}\Bigl(\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2})\Bigr).

Resposta

A = \frac{\pi}{2}\,\bigl(\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2})\bigr).

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