Determine uma representação parametrizada para a superfície.
A parte do elipsoide x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=1 que se encontra à esquerda do plano x z

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da parte do elipsoide
x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=1
que fica à esquerda do plano xz (isto é, com y\le 0). Vamos usar uma parametrização adaptada de coordenadas esféricas para o elipsoide.

Passo 2

Note que podemos escrever o elipsoide na forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
com
a=1,\quad b=\tfrac{1}{\sqrt{2}},\quad c=\tfrac{1}{\sqrt{3}}.
Uma parametrização genérica vem de
x=a\sin\varphi\cos\theta,\quad y=b\sin\varphi\sin\theta,\quad z=c\cos\varphi
onde \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi].

Passo 3

Para ficar à esquerda do plano xz precisamos de y\le0. Como
y=b\sin\varphi\sin\theta\le0
e \sin\varphi\ge0 em [0,\pi], basta ter \sin\theta\le0, ou seja
\theta\in[\pi,2\pi].

Resposta

Uma parametrização adequada é
\mathbf{r}(\varphi,\theta) =\bigl(\sin\varphi\cos\theta,\;\tfrac{1}{\sqrt{2}}\sin\varphi\sin\theta,\;\tfrac{1}{\sqrt{3}}\cos\varphi\bigr),
com \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[\pi,2\pi].

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