Determine uma representação parametrizada para a superfície.
A parte da esfera
que se situa acima do cone
A parte da esfera
Passo 1
Queremos parametrizar a parte da esfera
que está acima do cone
. O conteúdo principal aqui é o uso de coordenadas esféricas, em que a esfera de raio 2 aparece naturalmente e o cone impõe uma condição simples sobre o ângulo polar.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, lembramos que cada ponto do espaço é dado por
onde
é a distância ao origem,
é o ângulo polar medido a partir do eixo
positivo e
é o ângulo azimutal no plano
.
Passo 3
Como estamos na esfera de raio 2, fixamos
. Assim a parametrização geral da esfera é
Passo 4
Agora impomos que o ponto fique acima do cone
. Em esféricas isso vira
“Acima” do cone significa ter
menor que esse valor, ou seja
enquanto
percorre toda a volta em torno do eixo
, isto é
Resposta
Uma parametrização conveniente é
com