Determine uma representação parametrizada para a superfície.
A parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que se situa acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

Queremos parametrizar a parte da esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que está acima do cone \,z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. O conteúdo principal aqui é o uso de coordenadas esféricas, em que a esfera de raio 2 aparece naturalmente e o cone impõe uma condição simples sobre o ângulo polar.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, lembramos que cada ponto do espaço é dado por
x=\rho\,\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\,\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\,\cos\varphi,
onde \rho é a distância ao origem, \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.

Passo 3

Como estamos na esfera de raio 2, fixamos \rho=2. Assim a parametrização geral da esfera é
\mathbf r(\theta,\varphi)=\bigl(2\sin\varphi\cos\theta,\;2\sin\varphi\sin\theta,\;2\cos\varphi\bigr).

Passo 4

Agora impomos que o ponto fique acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em esféricas isso vira
\rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi=\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{4}.
“Acima” do cone significa ter \varphi menor que esse valor, ou seja
0\;\le\;\varphi\;\le\;\frac{\pi}{4},
enquanto \theta percorre toda a volta em torno do eixo z, isto é
0\;\le\;\theta\;<\;2\pi.

Resposta

Uma parametrização conveniente é
\mathbf r(\theta,\varphi)=\bigl(2\sin\varphi\cos\theta,\;2\sin\varphi\sin\theta,\;2\cos\varphi\bigr),
com
0\le\varphi\le\frac{\pi}{4}, \qquad 0\le\theta<2\pi.

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