Determine a área da superfície.
A parte do plano determinado pelos pontos (-1,2,3),(0,-1,1) e (2,1,0) que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1;
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do plano determinado pelos pontos (-1,2,3), (0,-1,1) e (2,1,0) que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1.\n
Informações relevantes dadas:
Três pontos do plano: P_{1}=(-1,2,3), P_{2}=(0,-1,1), P_{3}=(2,1,0).
Região do plano considerada é exatamente a interseção do plano com o cilindro circular vertical de equação x^{2}+y^{2}=1 (ou seja, a projeção dessa parte do plano no plano xy é o disco unitário x^{2}+y^{2}\le 1).\n
O que precisamos encontrar: a área da superfície plana acima do disco unitário no plano xy.
Passo 2
Primeiro vamos obter a equação do plano que passa por P_{1},P_{2},P_{3}. Uma forma prática é usar dois vetores no plano e fazer o produto vetorial para achar a normal.\n
Formamos os vetores (diferenças entre pontos):
Explicando rapidamente: f_{x} e f_{y} são as derivadas parciais de f em x e y. A expressão \sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}} é o fator de alongamento que transforma uma pequena área no plano xy numa pequena área no gráfico (vem da norma do vetor (-f_x,-f_y,1), detalhe que não precisa decorar: o importante é usar a fórmula correta).\n
No nosso caso D é o disco unitário x^{2}+y^{2}\le 1. Como f é linear (plano), f_{x} e f_{y} são constantes.
Passo 6
Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=\dfrac{-7x+3y+11}{8}:
Como o integrando é constante, a área é esse fator multiplicado pela área do domínio D no plano xy. O domínio é o disco de raio 1, cuja área é \pi\cdot 1^{2}=\pi. Portanto:
Resumo do raciocínio e resultado final: achamos a equação do plano passando pelos três pontos, escrevemos z=f(x,y), usamos a fórmula da área de gráfico z=f(x,y) sobre o disco unitário e obtivemos a área fechando cálculos simples de derivadas e multiplicando pela área do disco.