Determine a área da superfície.
A parte do plano determinado pelos pontos (-1,2,3),(0,-1,1) e (2,1,0) que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1;

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do plano determinado pelos pontos (-1,2,3), (0,-1,1) e (2,1,0) que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1.\n
Informações relevantes dadas:
  • Três pontos do plano: P_{1}=(-1,2,3), P_{2}=(0,-1,1), P_{3}=(2,1,0).
  • Região do plano considerada é exatamente a interseção do plano com o cilindro circular vertical de equação x^{2}+y^{2}=1 (ou seja, a projeção dessa parte do plano no plano xy é o disco unitário x^{2}+y^{2}\le 1).\n
    O que precisamos encontrar: a área da superfície plana acima do disco unitário no plano xy.

Passo 2

Primeiro vamos obter a equação do plano que passa por P_{1},P_{2},P_{3}. Uma forma prática é usar dois vetores no plano e fazer o produto vetorial para achar a normal.\n
Formamos os vetores (diferenças entre pontos):
\vec{v}=P_{2}-P_{1}=(0-(-1),\,-1-2,\,1-3)=(1,-3,-2)
\vec{w}=P_{3}-P_{1}=(2-(-1),\,1-2,\,0-3)=(3,-1,-3)
Esses vetores estão contidos no plano.

Passo 3

O produto vetorial \vec{n}=\vec{v}\times\vec{w} dá um vetor normal ao plano. Vou calcular componente a componente usando a definição:
\vec{n}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & -3 & -2\\[4pt] 3 & -1 & -3 \end{vmatrix}
Calculando:
\vec{n}=(\,(-3)(-3)-(-2)(-1),\; -\big(1(-3)-(-2)3\big),\;1(-1)-(-3)3\,)
\vec{n}=(\,9-2,\; -(-3+6),\; -1+9\,)=(7,-3,8)
Logo uma normal ao plano é \vec{n}=(7,-3,8).]

Passo 4

Equação do plano usando \vec{n}\cdot (x,y,z-P_{1})=0 (ou \vec{n}\cdot(\mathbf{r}-P_{1})=0). Escrevendo:
7(x-(-1)) -3(y-2) +8(z-3)=0
Simplificando:
7(x+1)-3(y-2)+8(z-3)=0
Agora isolamos z para escrever o plano como função z=f(x,y). Desenvolvendo:
8(z-3)=-7(x+1)+3(y-2)
z-3=\frac{-7x-7+3y-6}{8}=\frac{-7x+3y-13}{8}
\text{Portanto } \; z=f(x,y)=\frac{-7x+3y+11}{8}

Passo 5

Para calcular a área da superfície dada por z=f(x,y) sobre um domínio D no plano xy usamos a fórmula (é padrão para gráfico de função):
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\;dAÁ
Explicando rapidamente: f_{x} e f_{y} são as derivadas parciais de f em x e y. A expressão \sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}} é o fator de alongamento que transforma uma pequena área no plano xy numa pequena área no gráfico (vem da norma do vetor (-f_x,-f_y,1), detalhe que não precisa decorar: o importante é usar a fórmula correta).\n
No nosso caso D é o disco unitário x^{2}+y^{2}\le 1. Como f é linear (plano), f_{x} e f_{y} são constantes.

Passo 6

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=\dfrac{-7x+3y+11}{8}:
f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{-7x+3y+11}{8}\right)=-\frac{7}{8}
f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{-7x+3y+11}{8}\right)=\frac{3}{8}
Então o integrando é constante:
\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}=\sqrt{1+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{1+\frac{49}{64}+\frac{9}{64}}=\sqrt{\frac{64+49+9}{64}}=\sqrt{\frac{122}{64}}=\frac{\sqrt{122}}{8}
Como o integrando é constante, a área é esse fator multiplicado pela área do domínio D no plano xy. O domínio é o disco de raio 1, cuja área é \pi\cdot 1^{2}=\pi. Portanto:
\text{Área}=\frac{\sqrt{122}}{8}\cdot \pi = \frac{\pi\sqrt{122}}{8}Á

Passo 7

Resumo do raciocínio e resultado final: achamos a equação do plano passando pelos três pontos, escrevemos z=f(x,y), usamos a fórmula da área de gráfico z=f(x,y) sobre o disco unitário e obtivemos a área fechando cálculos simples de derivadas e multiplicando pela área do disco.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi\sqrt{122}}{8}

Exercícios relacionados