Determine a área da superfície.
A parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 que se encontra entre os planos z=-2 e z=2;

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 que fica entre os planos z=-2 e z=2.\n
Informações dadas e o que queremos encontrar:\n
  • A superfície é a esfera de raio R com R^{2}=16, logo R=4.\n
  • A região da superfície está limitada verticalmente por z=-2 e z=2.\n
  • O objetivo é calcular a área dessa “faixa” (zona esférica) da esfera entre esses dois planos.

Passo 2

Vamos entender como localizar essa faixa na esfera usando a coordenada polar em 3D (coordenadas esféricas).\n
Nessas coordenadas usamos dois ângulos: \varphi (colatitude, o ângulo medido a partir do eixo positivo z) e \theta (azimute, no plano xy).\n
A relação entre z, R e \varphi é
z = R\cos\varphi.
Aqui R é o raio da esfera (aqui R=4) e \varphi varia entre 0 (polo norte, z=R) e \pi (polo sul, z=-R).\n
Para encontrar os limites em \varphi correspondentes a z=2 e z=-2, resolvemos \cos\varphi = z/R:\n
  • para z=2: \cos\varphi = 2/4 = 1/2, então \varphi = \operatorname{arccos}(1/2)=\pi/3;\n
  • para z=-2: \cos\varphi = -2/4 = -1/2, então \varphi = \operatorname{arccos}(-1/2)=2\pi/3.\n
    Portanto \varphi varia de \phi_{1}=\pi/3 até \phi_{2}=2\pi/3. O ângulo \theta percorre 0 a 2\pi.

Passo 3

Agora precisamos da expressão do elemento de área sobre a esfera. Num pedaço pequeno da esfera, a área elementar é
dS = R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Expliquei por que isso: imagine um retângulo na superfície obtido por variações pequenas d\varphi e d\theta. O comprimento na direção \varphi é aproximadamente R\,d\varphi. O comprimento na direção \theta é a projeção circular de raio R\sin\varphi, então é R\sin\varphi\,d\theta. O produto dá a área aproximada R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta. Isso é a fórmula padrão para área em coordenadas esféricas.

Passo 4

Montamos a integral dupla para a área da faixa esférica:
A=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=\pi/3}^{2\pi/3} R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Substituindo R=4 obtemos
A=\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/3}^{2\pi/3} 16\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calcule a integral em \varphi primeiro. Sabemos que
\int \sin\varphi\,d\varphi = -\cos\varphi.
Então
\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \sin\varphi\,d\varphi = \bigl(-\cos\varphi\bigr)\Big|_{\pi/3}^{2\pi/3} = -\cos\!\bigl(2\pi/3\bigr) - \bigl(-\cos\!\bigl(\pi/3\bigr)\bigr) = \cos\!\bigl(\pi/3\bigr) - \cos\!\bigl(2\pi/3\bigr).
Agora use os valores trigonométricos: \cos\!\bigl(\pi/3\bigr)=1/2 e \cos\!\bigl(2\pi/3\bigr)=-1/2. Logo
\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \sin\varphi\,d\varphi = \tfrac{1}{2} - (-\tfrac{1}{2}) = 1.

Passo 6

Voltando à integral total,
A = \int_{0}^{2\pi} 16\cdot 1 \, d\theta = 16 \int_{0}^{2\pi} d\theta = 16\cdot 2\pi = 32\pi.
Portanto a área da faixa esférica é 32\pi.

Passo 7

(Comentário útil para a prova: um atalho que sempre funciona) Existe uma fórmula simples para a área de uma zona esférica (faixa entre dois planos paralelos) de raio R e altura h:
A = 2\pi R h.
Aqui a altura vertical da zona é h = z_{\text{superior}} - z_{\text{inferior}} = 2 - (-2) = 4. Aplicando a fórmula com R=4 e h=4 vem
A = 2\pi \cdot 4 \cdot 4 = 32\pi,
o que confirma o resultado obtido pela integral. Guarde essa fórmula: ela é muito prática na hora da prova.

Resposta

32\pi

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