Obtenha uma parametrização
das seguintes superfícies em
, destacando o domínio
:
cilindro elíptico
cilindro elíptico
Passo 1
O que o enunciado pede: obter uma parametrização
da superfície dada pela equação
e destacar explicitamente o domínio
.
Informações fornecidas:
- A equação
é a condição que os pontos da superfície devem satisfazer. - Não há restrição sobre a coordenada
no enunciado (logo é livre). - Preciso dar uma função
com dois parâmetros (porque ) que gere exatamente essa superfície, e indicar os valores possíveis dos parâmetros.
Passo 2
Entendendo a seção elíptica no plano
. Divido a equação por
para reconhecer uma forma padrão:
Isto é uma elipse no plano
com semi-eixo maior
ao longo de
e semi-eixo menor
ao longo de
. Uma identidade trigonométrica útil é
que sugere a parametrização padrão de uma elipse: se
, então podemos tomar
porque ao substituir obtemos
.
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso:
e
. Vou escolher um parâmetro angular
para percorrer a elipse no plano
. Como a coordenada
não está restrita, introduzo um segundo parâmetro
que representa exatamente a coordenada
. Assim proponho a parametrização
Aqui:
-
varia ao longo do perímetro da elipse (um ciclo completo corresponde a indo de a ), -
representa a altura e pode assumir qualquer valor real.
Escolho o domínio padrão
para evitar duplicar o contorno em
e
. (Também é aceitável usar
com a observação de identificação das bordas.)
Passo 4
Verificação direta de que a parametrização está correta: substituo
e
na equação da superfície:
Portanto todo ponto
satisfaz a equação
, para qualquer
.
Passo 5
Checagem de regularidade da parametrização (útil para saber que não “colapsa”): calculo as derivadas parciais
O produto vetorial é
A norma desse vetor é
Esse valor nunca é zero porque não existem
tais que simultaneamente
e
. Logo a parametrização é regular para todo
do domínio, o que é bom (isso significa que localmente a parametrização descreve uma superfície sem “dobras” degeneradas).
Passo 6
Observações finais e exemplos numéricos rápidos para fixar a intuição:
- Para
obtemos , ponto da elipse em com altura . - Para
obtemos , ponto na “borda” da elipse com . - Alternativas: poderíamos usar
ou usar funções sinusoidais trocadas com um ajuste de fase; a forma escolhida é a mais direta e usual.