Obtenha uma parametrização vec{r}: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} das seguintes superfícies em \mathbb{R}^{3}, destacando o domínio D :
cilindro elíptico x^{2}+9 y^{2}=9

Passo 1

O que o enunciado pede: obter uma parametrização \vec{r}: D \subset \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} da superfície dada pela equação
x^{2}+9y^{2}=9,
e destacar explicitamente o domínio D.
Informações fornecidas:
  • A equação \;x^{2}+9y^{2}=9\; é a condição que os pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} da superfície devem satisfazer.
  • Não há restrição sobre a coordenada z no enunciado (logo z é livre).
  • Preciso dar uma função \vec r(u,v) com dois parâmetros (porque D\subset\mathbb{R}^2) que gere exatamente essa superfície, e indicar os valores possíveis dos parâmetros.

Passo 2

Entendendo a seção elíptica no plano xy. Divido a equação por 9 para reconhecer uma forma padrão:
\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1.
Isto é uma elipse no plano xy com semi-eixo maior a=3 ao longo de x e semi-eixo menor b=1 ao longo de y. Uma identidade trigonométrica útil é
\cos^{2}t+\sin^{2}t=1,
que sugere a parametrização padrão de uma elipse: se \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, então podemos tomar
x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,
porque ao substituir obtemos \frac{(a\cos t)^{2}}{a^{2}}+\frac{(b\sin t)^{2}}{b^{2}}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso: a=3 e b=1. Vou escolher um parâmetro angular \;u\; para percorrer a elipse no plano xy. Como a coordenada z não está restrita, introduzo um segundo parâmetro \;v\; que representa exatamente a coordenada z. Assim proponho a parametrização
\vec{r}(u,v) = \bigl(3\cos u,\; \sin u,\; v\bigr).
Aqui:
  • u varia ao longo do perímetro da elipse (um ciclo completo corresponde a u indo de 0 a 2\pi),
  • v representa a altura z e pode assumir qualquer valor real.
Escolho o domínio padrão
D=\{(u,v)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0\le u<2\pi,\; v\in\mathbb{R}\},
para evitar duplicar o contorno em u=0 e u=2\pi. (Também é aceitável usar u\in[0,2\pi] com a observação de identificação das bordas.)

Passo 4

Verificação direta de que a parametrização está correta: substituo x=3\cos u e y=\sin u na equação da superfície:
x^{2}+9y^{2}=(3\cos u)^{2}+9(\sin u)^{2}=9\cos^{2}u+9\sin^{2}u=9(\cos^{2}u+\sin^{2}u)=9.
Portanto todo ponto \vec r(u,v) satisfaz a equação x^{2}+9y^{2}=9, para qualquer v.

Passo 5

Checagem de regularidade da parametrização (útil para saber que não “colapsa”): calculo as derivadas parciais
\vec r_{u}(u,v)=\bigl(-3\sin u,\;\cos u,\;0\bigr),\qquad \vec r_{v}(u,v)=\bigl(0,\;0,\;1\bigr).
O produto vetorial é
\vec r_{u}\times\vec r_{v} = \bigl(\cos u,\;3\sin u,\;0\bigr).
A norma desse vetor é
\|\vec r_{u}\times\vec r_{v}\|=\sqrt{\cos^{2}u+9\sin^{2}u}.
Esse valor nunca é zero porque não existem u tais que simultaneamente \cos u=0 e \sin u=0. Logo a parametrização é regular para todo (u,v) do domínio, o que é bom (isso significa que localmente a parametrização descreve uma superfície sem “dobras” degeneradas).

Passo 6

Observações finais e exemplos numéricos rápidos para fixar a intuição:
  • Para u=0,\\ v=2 obtemos \vec r(0,2)=(3,0,2), ponto da elipse em x=3 com altura z=2.
  • Para u=\pi/2,\\ v=0 obtemos \vec r(\tfrac{\pi}{2},0)=(0,1,0), ponto na “borda” da elipse com y=1.
  • Alternativas: poderíamos usar x=3\cos u,\\ y=\sin u,\\ z=v ou usar funções sinusoidais trocadas com um ajuste de fase; a forma escolhida é a mais direta e usual.

Resposta

\displaystyle \vec r(u,v)=\bigl(3\cos u,\;\sin u,\;v\bigr)\
\displaystyle D=\{(u,v)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0\le u<2\pi,\;v\in\mathbb{R}\}

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