Determine a área da superfície.
A parte da superfície z=x y que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da superfície definida por z = x y que projeta-se no plano xy dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1.
Conteúdo: cálculo de área de superfície de um gráfico z=f(x,y). Usaremos a fórmula
S = \iint_{D} \sqrt{1 + \bigl(f_x(x,y)\bigr)^{2} + \bigl(f_y(x,y)\bigr)^{2}}\;dA,
onde D = \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=xy.
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(xy)=y, \quad f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x.

Passo 3

Substituir na fórmula do integrando:
\sqrt{1 + (f_x)^{2} + (f_y)^{2}} =\sqrt{1 + y^{2} + x^{2}} =\sqrt{1 + r^{2}},
ao usar coordenadas polares, pois x^{2}+y^{2}=r^{2}.

Passo 4

Expressar o elemento de área dA em coordenadas polares:
dA = r\,dr\,d\theta,
e o domínio D vira 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi. Logo
S = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \sqrt{1+r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em r. Faça u=1+r^{2}, então du=2r\,dr e r\,dr=\tfrac12\,du:
\int_{0}^{1} r\sqrt{1+r^{2}}\,dr =\tfrac12\int_{u=1}^{u=2} u^{1/2}\,du =\tfrac12\cdot \frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{2} =\frac{1}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr).

Passo 6

Agora integrar em \theta:
S = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr)\,d\theta = \frac{2\pi}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr).

Resposta

S = \frac{2\pi}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

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