\mathbf{F}(x, y, z)=e^{x y} \mathbf{i}+e^{x z} \mathbf{j}+x^{2} z \mathbf{k}, S é a metade do elipsoide 4 x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=4 que se situa à direita do plano x z orientado na direção do eixo positivo y
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}(x,y,z)=e^{xy}\,\mathbf{i}+e^{xz}\,\mathbf{j}+x^{2}z\,\mathbf{k} através da superfície S, que é a “metade” do elipsoide
4x^{2}+y^{2}+4z^{2}=4,\qquad y\ge0,
orientada para o lado de +\mathbf{j} (isto é, com a normal apontando para y>0).
O conteúdo principal é usar o Teorema da Divergência para transformar o cálculo do fluxo de \mathbf{F} por S num integral volumétrico sobre o sólido V limitado por S e pela face plana D\colon y=0.
Passo 2
Aplicamos o Teorema da Divergência ao sólido V (a “metade” do elipsoide). Suas faces são S e o disco D no plano y=0. Se chamarmos de n_S a normal de S apontando para +\mathbf{j} e de n_D a normal de D apontando para fora de V (isto é, para -\mathbf{j}), então
que transforma o elipsoide x^{2}/1 + y^{2}/4 + z^{2}/1\le1 num meio‐esfera unitária u^{2}+v^{2}+w^{2}\le1 com v\ge0, e o Jacobiano vale 2.
Por simetria num meio‐esfera temos