1. \mathbf{F}(x, y, z)=e^{x y} \mathbf{i}+e^{x z} \mathbf{j}+x^{2} z \mathbf{k}, S é a metade do elipsoide
    4 x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=4 que se situa à direita do plano x z orientado na direção do eixo positivo y

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}(x,y,z)=e^{xy}\,\mathbf{i}+e^{xz}\,\mathbf{j}+x^{2}z\,\mathbf{k} através da superfície S, que é a “metade” do elipsoide
4x^{2}+y^{2}+4z^{2}=4,\qquad y\ge0,
orientada para o lado de +\mathbf{j} (isto é, com a normal apontando para y>0).
O conteúdo principal é usar o Teorema da Divergência para transformar o cálculo do fluxo de \mathbf{F} por S num integral volumétrico sobre o sólido V limitado por S e pela face plana D\colon y=0.

Passo 2

Aplicamos o Teorema da Divergência ao sólido V (a “metade” do elipsoide). Suas faces são S e o disco D no plano y=0. Se chamarmos de n_S a normal de S apontando para +\mathbf{j} e de n_D a normal de D apontando para fora de V (isto é, para -\mathbf{j}), então
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot n_{S}\,dS\;+\;\iint_{D}\mathbf{F}\cdot n_{D}\,dS \;=\; \iiint_{V}\bigl(\nabla\cdot\mathbf{F}\bigr)\,dV.
Reescrevendo, o fluxo desejado é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} \;=\; \iiint_{V}\bigl(\nabla\cdot\mathbf{F}\bigr)\,dV \;-\; \iint_{D}\mathbf{F}\cdot n_{D}\,dS.

Passo 3

Calculamos a divergência:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) +\frac{\partial}{\partial y}(e^{xz}) +\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}z) = y\,e^{xy}+0 + x^{2} = y\,e^{xy}+x^{2}.

Passo 4

Decompomos o integral volumétrico:
\iiint_{V}(y\,e^{xy}+x^{2})\,dV =\iiint_{V}y\,e^{xy}\,dV \;+\;\iiint_{V}x^{2}\,dV.
O segundo termo é direto, usando a mudança
x=u,\quad y=2v,\quad z=w,
que transforma o elipsoide x^{2}/1 + y^{2}/4 + z^{2}/1\le1 num meio‐esfera unitária u^{2}+v^{2}+w^{2}\le1 com v\ge0, e o Jacobiano vale 2.
Por simetria num meio‐esfera temos
\iiint_{V}x^{2}\,dV =2\;\times\frac{1}{2}\iiint_{u^{2}+v^{2}+w^{2}\le1}u^{2}\,dudvdw =2\;\cdot\frac{4\pi}{15} =\frac{4\pi}{15}.
O primeiro termo \iiint_{V}y\,e^{xy}\,dV não se expressa em forma elementar simples, então o deixamos como está.

Passo 5

Agora a face D é o disco y=0,\;x^{2}+z^{2}\le1. A normal para fora de V é -\mathbf{j}, logo
\iint_{D}\mathbf{F}\cdot n_{D}\,dS =\iint_{x^{2}+z^{2}\le1} \bigl[e^{xy}\,\mathbf{i}+e^{xz}\,\mathbf{j}+x^{2}z\,\mathbf{k}\bigr]_{y=0} \cdot(-\mathbf{j}) \,dA =-\iint_{x^{2}+z^{2}\le1}e^{xz}\,dA.
Em coordenadas polares x=r\cos\theta, z=r\sin\theta esse integral fica
\iint_{D}e^{xz}\,dA =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2\pi}e^{r^{2}\cos\theta\sin\theta}\;r\,d\theta\,dr =2\pi\int_{0}^{1}I_{0}\!\bigl(\tfrac{r^{2}}{2}\bigr)\,r\,dr =2\pi\int_{0}^{\tfrac12}I_{0}(t)\,dt,
onde I_{0} é a função de Bessel modificada de ordem zero e usamos t=r^{2}/2.

Passo 6

Reunindo tudo:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \underbrace{\iiint_{V}y\,e^{xy}\,dV}_{\displaystyle(*)} \;+\;\frac{4\pi}{15} \;-\;\Bigl(-2\pi\!\!\int_{0}^{\tfrac12}I_{0}(t)\,dt\Bigr).
Ou seja,
\boxed{ \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V}y\,e^{xy}\,dV \;+\;\frac{4\pi}{15} \;+\;2\pi\!\int_{0}^{\tfrac12}I_{0}(t)\,dt. }
Aqui o termo \iiint_{V}y\,e^{xy}\,dV não tem forma elementar simples, e o outro integral em t aparece em termos de I_{0}.

Resposta

\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V}y\,e^{xy}\,dV \;+\;\frac{4\pi}{15} \;+\;2\pi\int_{0}^{\tfrac12}I_{0}(t)\,dt.

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