Determine a área da superfície.
A superfície com equações paramétricas x=u^{2}, y=u v, z=\frac{1}{2} v^{2}, 0 \leqslant u \leqslant 1,0 \leqslant v \leqslant 2

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície parametrizada por
\mathbf r(u,v)=\bigl(u^{2},\,u\,v,\,\tfrac12v^{2}\bigr),
para \,0\le u\le1 e 0\le v\le2.
O conteúdo aqui é “área de superfície parametrizada”, que usamos calculando o vetor normal \mathbf r_{u}\times\mathbf r_{v} e integrando sua norma sobre o domínio de (u,v).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\mathbf r_{u}=\frac{\partial}{\partial u}\bigl(u^{2},\,u\,v,\,\tfrac12v^{2}\bigr) =\bigl(2u,\,v,\,0\bigr),
\mathbf r_{v}=\frac{\partial}{\partial v}\bigl(u^{2},\,u\,v,\,\tfrac12v^{2}\bigr) =\bigl(0,\,u,\,v\bigr).

Passo 3

Formamos o produto vetorial
\mathbf r_{u}\times\mathbf r_{v} =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 2u & v & 0\\\\ 0 & u & v \end{vmatrix} =\bigl(v^{2},\,-2uv,\,2u^{2}\bigr).
A norma deste vetor é
\|\mathbf r_{u}\times\mathbf r_{v}\| =\sqrt{v^{4}+(-2uv)^{2}+(2u^{2})^{2}} =\sqrt{v^{4}+4u^{2}v^{2}+4u^{4}} =\bigl(v^{2}+2u^{2}\bigr).

Passo 4

A área da superfície é
\iint_{D}\|\mathbf r_{u}\times\mathbf r_{v}\|\;dudv =\int_{v=0}^{2}\int_{u=0}^{1}\bigl(2u^{2}+v^{2}\bigr)\,du\,dv.
Primeiro integramos em u:
\int_{0}^{1}(2u^{2}+v^{2})\,du =\bigl[\tfrac{2}{3}u^{3}+v^{2}u\bigr]_{0}^{1} =\tfrac{2}{3}+v^{2}.
Depois em v:
\int_{0}^{2}\Bigl(\tfrac{2}{3}+v^{2}\Bigr)\,dv =\tfrac{2}{3}\cdot2+\bigl[\tfrac{v^{3}}{3}\bigr]_{0}^{2} =\tfrac{4}{3}+\tfrac{8}{3} =4.

Resposta

A área da superfície é 4.

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