Determine a área da superfície da porção de x^{2}+y^{2}+z^{2}=25 \operatorname{com} z \leq 0.
Passo 1
O enunciado dá a superfície esférica
x^{2}+y^{2}+z^{2}=25
e pede a área da porção dessa superfície que satisfaz z\le 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A superfície é uma esfera de raio 5 centrada na origem (porque 25=5^{2}).
A porção pedida é a metade inferior da esfera (tudo com z\le 0).
O que se deve calcular: a área dessa superfície esférica restrita ao hemisfério inferior.
Passo 2
Estratégia: vou calcular a área usando uma parametrização da esfera em coordenadas esféricas e a fórmula de área de superfície parametrizada. Depois faço uma checagem rápida pelo argumento geométrico (metade da área da esfera inteira). Vou explicar cada fórmula usada.
Lembrete importante (fórmula que usarei):
Se \mathbf{r}(u,v) é uma parametrização da superfície, a área da superfície sobre a região D no plano (u,v) é
onde \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v} são derivadas parciais de \mathbf{r} em relação a u e v, e \times é o produto vetorial. Isso vem do fato que \bigl\|\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}\bigr\| é a área do paralelogramo gerado pelos vetores tangentes.
Passo 3
Parametrização da esfera de raio 5 usando coordenadas esféricas (ângulos):
\varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo +z (ou seja, \varphi=0 aponta para o polo norte).
\theta é o ângulo azimutal no plano xy, variando de 0 a 2\pi.
Intervalos dos parâmetros para a esfera inteira: \theta\in[0,2\pi], \varphi\in[0,\pi].
Como queremos a metade inferior (z\le 0), precisamos das \varphi tais que 5\cos\varphi\le 0, ou seja \cos\varphi\le 0. Isso corresponde a
\varphi\in\left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right].
Logo a região de integração será \theta\in[0,2\pi] e \varphi\in\bigl[\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr].
Passo 4
Calcular as derivadas parciais \mathbf{r}_{\varphi} e \mathbf{r}_{\theta}:
Agora o produto vetorial \mathbf{r}_{\varphi}\times\mathbf{r}_{\theta}. Use a fórmula direta com componentes: se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) então