Determine a área da superfície da porção do plano
que está no interior do cilindro
.
Passo 1
O enunciado pede a área da porção do plano
que está dentro do cilindro
.
Informações dadas:
- Equação do plano:
. - Equação do cilindro:
. Isto define um cilindro circular reto de raio com eixo paralelo ao eixo . - A porção do plano que interessa é exatamente a parte do plano sobre a região do plano
onde (o disco de raio ).
O que se pede:
- Calcular a área da superfície do pedaço do plano que fica sobre esse disco (ou seja, a área da superfície inclinada limitada verticalmente pelo cilindro).
Passo 2
Expressar o plano como função
e identificar as derivadas parciais.
Da equação do plano:
isola-se
:
As derivadas parciais são as taxas de variação de
em relação a
e a
:
Ambas são constantes porque o plano é uma função afim em
e
.
Passo 3
Apresentar a fórmula do elemento de área de superfície e explicar a razão.
Para uma superfície dada por
, a área da porção sobre uma região
no plano
é dada por
Explicação rápida e intuitiva: um pequeno retângulo
no plano
se projeta na superfície como um paralelogramo cuja área é aproximadamente
. O fator
corrige a área projetada para a área real na superfície, levando em conta a inclinação.
No nosso caso, a região
é o disco
Passo 4
Calcular o integrando e montar a integral.
Calcula-se o termo dentro da raiz:
Colocando em denominador comum:
Logo
Como o integrando é constante, a área fica
Passo 5
Calcular a área da projeção (o disco) e concluir a expressão final antes da resposta final.
A área do disco de raio
é
Portanto, a área da porção do plano é