Determine a área da superfície da porção do plano 2 x+3 y+6 z=9 que está no interior do cilindro x^{2}+y^{2}=7.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção do plano 2x+3y+6z=9 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=7.
Informações dadas:
  • Equação do plano: 2x+3y+6z=9.
  • Equação do cilindro: x^{2}+y^{2}=7. Isto define um cilindro circular reto de raio \sqrt{7} com eixo paralelo ao eixo z.
  • A porção do plano que interessa é exatamente a parte do plano sobre a região do plano xy onde x^{2}+y^{2}\le 7 (o disco de raio \sqrt{7}).
O que se pede:
  • Calcular a área da superfície do pedaço do plano que fica sobre esse disco (ou seja, a área da superfície inclinada limitada verticalmente pelo cilindro).

Passo 2

Expressar o plano como função z=f(x,y) e identificar as derivadas parciais.
Da equação do plano:
2x+3y+6z=9
isola-se z:
z=f(x,y)=\frac{9-2x-3y}{6}=\frac{3}{2}-\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y.
As derivadas parciais são as taxas de variação de z em relação a x e a y:
f_x=\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{3},\qquad f_y=\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{2}.
Ambas são constantes porque o plano é uma função afim em x e y.

Passo 3

Apresentar a fórmula do elemento de área de superfície e explicar a razão.
Para uma superfície dada por z=f(x,y), a área da porção sobre uma região R no plano xy é dada por
\text{Área}=\iint_{R}\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}\\ dA.Á
Explicação rápida e intuitiva: um pequeno retângulo dA no plano xy se projeta na superfície como um paralelogramo cuja área é aproximadamente \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA. O fator \sqrt{1+f_x^2+f_y^2} corrige a área projetada para a área real na superfície, levando em conta a inclinação.
No nosso caso, a região R é o disco
R=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 7\}.

Passo 4

Calcular o integrando e montar a integral.
Calcula-se o termo dentro da raiz:
1+f_x^{2}+f_y^{2}=1+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2} =1+\frac{1}{9}+\frac{1}{4}.
Colocando em denominador comum:
1+\frac{1}{9}+\frac{1}{4}=\frac{36}{36}+\frac{4}{36}+\frac{9}{36}=\frac{49}{36}.
Logo
\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}=\frac{7}{6}.
Como o integrando é constante, a área fica
\text{Área}=\iint_{R}\frac{7}{6}\\ dA=\frac{7}{6}\iint_{R} dA=\frac{7}{6}\cdot (\text{área do disco de raio }\sqrt{7}).Áá

Passo 5

Calcular a área da projeção (o disco) e concluir a expressão final antes da resposta final.
A área do disco de raio \sqrt{7} é
\text{área}(R)=\pi(\sqrt{7})^{2}=\pi\cdot 7=7\pi.á
Portanto, a área da porção do plano é
\text{Área}=\frac{7}{6}\cdot 7\pi.Á

Resposta

\displaystyle \frac{49\pi}{6}

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