Determine se a asserção é VERDADEIRA ou FALSA. Justifique/prove precisamente.
"Seja f contínua em [a, b], então para uma constante c,
\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a-c}^{b-c} f(x+c) d x
Obs.: prove a sua asserção para uma f(x) geral, e não somente para uma função f(x) específica. Lembre que obviamente mostrar a validade da asserção para um exemplo específico não provará a asserção para funções contínuas arbitrárias.
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado pede para decidir se, para f contínua em [a,b] e constante c, vale
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{a-c}^{\,b-c} f(x+c)\,dx.
O conteúdo envolvido é a técnica de substituição em integrais definidas.

Passo 2

Considere a mudança de variável
u = x + c.
Como c é constante, temos
du = dx.

Passo 3

Ajuste os limites de integração:
quando x = a-c, então
u = (a-c) + c = a,
e quando x = b-c, então
u = (b-c) + c = b.

Passo 4

Aplicando a substituição na integral de a-c até b-c:
\int_{x=a-c}^{\,b-c} f(x+c)\,dx = \int_{u=a}^{\,b} f(u)\,du = \int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Isso mostra que os dois lados coincidem para qualquer função contínua f.

Resposta

Verdadeiro

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