Seja
.
(a) Quantas funções
passam pelo ponto
e satisfazem a EDO
?
(b) Mostre que todas essas soluções são crescentes no domínio.
(c) Determine todas as possíveis soluções. Sugestão: faça
e use
.
(d) Encontre o maior valor possível para
.
(a) Quantas funções
(b) Mostre que todas essas soluções são crescentes no domínio.
(c) Determine todas as possíveis soluções. Sugestão: faça
(d) Encontre o maior valor possível para
Passo 1
O enunciado propõe o problema de valor inicial
definido em
com
. Precisamos responder:
(a) quantas soluções passam por ;
(b) provar que todas são crescentes;
(c) achar explicitamente todas as soluções (sugestão: );
(d) determinar o maior possível.
(a) quantas soluções passam por
(b) provar que todas são crescentes;
(c) achar explicitamente todas as soluções (sugestão:
(d) determinar o maior
Passo 2
A função
é contínua e Lipschitz em
numa vizinhança de
. Pelo Teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, existe uma e apenas uma solução que satisfaça
. Logo, a resposta de (a) é: passa exatamente uma função.
Passo 3
Da equação
temos
para todo
. Portanto
em todo o domínio de definição da solução, o que mostra que
é crescente. Isso responde (b).
Passo 4
Para resolver, fazemos a substituição sugerida
Então
Isso é separável:
Integrando ambos os lados,
Passo 5
Impondo a condição inicial
temos
, daí
dá
. Logo
Como
, obtemos
Isso resolve (c): é a única solução dada por
.
Passo 6
A função
só é finita para
. Portanto a solução só existe em
. O maior valor de
compatível é
respondendo (d).
Resposta
(a) Exatamente uma.
(b) Todas são crescentes, pois .
(c) A solução é
(b) Todas são crescentes, pois
(c) A solução é
(d) O maior
possível é
.