Seja \alpha>0.
(a) Quantas funções y:(-\alpha, \alpha) \rightarrow \mathbb{R} passam pelo ponto (0,0) e satisfazem a EDO y^{\prime}=(x+y)^{2} ?
(b) Mostre que todas essas soluções são crescentes no domínio.
(c) Determine todas as possíveis soluções. Sugestão: faça u(x)=x+y(x) e use (\arctan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u^{2}+1}.
(d) Encontre o maior valor possível para \alpha.

Passo 1

O enunciado propõe o problema de valor inicial
y' = (x + y)^2,\qquad y(0)=0,
definido em (-\alpha,\alpha) com \alpha>0. Precisamos responder:
(a) quantas soluções passam por (0,0);
(b) provar que todas são crescentes;
(c) achar explicitamente todas as soluções (sugestão: u(x)=x+y(x));
(d) determinar o maior \alpha possível.

Passo 2

A função f(x,y)=(x+y)^2 é contínua e Lipschitz em y numa vizinhança de (0,0). Pelo Teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf, existe uma e apenas uma solução que satisfaça y(0)=0. Logo, a resposta de (a) é: passa exatamente uma função.

Passo 3

Da equação y'=(x+y)^2 temos (x+y)^2\ge0 para todo x. Portanto
y'(x)\ge0
em todo o domínio de definição da solução, o que mostra que y é crescente. Isso responde (b).

Passo 4

Para resolver, fazemos a substituição sugerida
u(x)=x+y(x).
Então
u'(x)=1+y'(x)=1+(x+y)^2=1+u^2.
Isso é separável:
\frac{du}{1+u^2}=dx.
Integrando ambos os lados,
\arctan(u)=x+C.

Passo 5

Impondo a condição inicial y(0)=0 temos u(0)=0+0=0, daí \arctan(0)=0 C=0. Logo
\arctan\bigl(u(x)\bigr)=x \quad\Longrightarrow\quad u(x)=\tan(x).
Como u=x+y, obtemos
y(x)=u(x)-x=\tan(x)-x.
Isso resolve (c): é a única solução dada por y(x)=\tan(x)-x.

Passo 6

A função \tan(x) só é finita para |x|<\tfrac{\pi}{2}. Portanto a solução só existe em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). O maior valor de \alpha compatível é
\alpha_{\max}=\frac{\pi}{2},
respondendo (d).

Resposta

(a) Exatamente uma.
(b) Todas são crescentes, pois y'(x)=(x+y)^2\ge0.
(c) A solução é
y(x)=\tan(x)-x.
(d) O maior \alpha possível é \tfrac\pi2.

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