Uma garrafa de água que estava em uma geladeira a 0^{\circ} \mathrm{C} é levada para fora, onde a temperatura é de 25^{\circ} \mathrm{C}. Após 1 minuto, a água possui uma temperatura de 5^{\circ} \mathrm{C}. Pela Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, a temperatura T(t) em função do tempo satisfaz a EDO T^{\prime}=k\left(T-T_{a}\right) para algum k \in \mathbb{R}, onde T_{a} é a temperatura ambiente.
(a) Qual será a temperatura após 2 minutos?
(b) O que ocorre com a temperatura quando t \rightarrow \infty ?

Passo 1

O enunciado apresenta o resfriamento/aquecimento segundo a Lei de Newton, dada pela EDO
T'(t)=k\bigl(T(t)-T_{a}\bigr),
onde T_{a}=25^{\circ}\mathrm{C} é a temperatura ambiente. A garrafa começa em T(0)=0^{\circ}\mathrm{C} e, após 1 minuto, atinge T(1)=5^{\circ}\mathrm{C}. Precisamos achar (a) T(2) e (b) o comportamento de T(t) quando t\to\infty.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a EDO. Ela é linear de coeficiente constante, e a solução geral é
T(t)-T_{a}=C\,e^{k t},
ou seja
T(t)=T_{a}+C\,e^{k t}.
Aplicando a condição inicial T(0)=0, obtemos
0 = 25 + C\cdot e^{k\cdot 0} \quad\Longrightarrow\quad C = -25.

Passo 3

Usamos agora o ponto \bigl(t=1,T(1)=5\bigr) para determinar k. Substituindo em
T(1) = 25 -25\,e^{k\cdot1} = 5
segue
25 -25\,e^{k} = 5 \quad\Longrightarrow\quad -25\,e^{k} = -20 \quad\Longrightarrow\quad e^{k} = \frac{4}{5} \quad\Longrightarrow\quad k = \ln\!\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr).

Passo 4

Com C=-25 e k=\ln(4/5), temos
T(t)=25 -25\,e^{(\ln(4/5))\,t} =25 -25\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^{t}.
Para t=2,
T(2)=25 -25\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^{2} =25 -25\cdot\frac{16}{25} =25 -16 =9^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 5

Como \ln(4/5)<0, quando t\to\infty temos \bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^{t}\to0. Logo
T(t)\;\longrightarrow\;25^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

(a) 9^{\circ}\mathrm{C}
(b) A temperatura tende a 25^{\circ}\mathrm{C} quando t\to\infty.

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