determine o autoespaço associado a cada autovalor, escrevendo a expressão correta do conjunto (do jeito que fizemos em sala desde o começo do ano) - resolva os sistemas por Gauss-Jordan, para obter a base corretamente.
Cuidado para não confundir o subespaço (que é o autoespaço) com a base, na hora de redigir a solução;
Passo 1
O enunciado pede: determinar o autoespaço associado a cada autovalor, escrevendo o conjunto na forma adequada (como visto em sala), e resolver os sistemas usando Gauss–Jordan para obter a base correta.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma (não foi enviada a matriz A nem os autovalores).
Conclusão imediata: sem a matriz A (ou sem os autovalores), não é possível calcular numericamente os autoespaços pedidos. Vou, no entanto, explicar detalhadamente o que são autoespaços, o procedimento completo passo a passo para calcular cada autoespaço usando Gauss–Jordan, e resolver um exemplo concreto e comentado para que você possa aplicar o mesmo método na sua prova com a matriz que tiver.
Passo 2
O que é um autovalor, autovetor e autoespaço — definindo tudo com calma.
Seja uma matriz quadrada A de ordem n. Um escalar \lambda é um autovalor de A se existe um vetor v\neq 0 tal que
A v = \lambda v.
Reescrevendo:
(A-\lambda I)v = 0,
onde I é a matriz identidade de ordem n. Portanto, os autovetores associados a \lambda são precisamente os vetores não nulos do núcleo (nullspace) da matriz A-\lambda I.
Este é um subespaço vetorial; normalmente expressamos E_{\lambda} como o span (fecho linear) de uma base: por exemplo,
E_{\lambda}=\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\},
onde \{v_1,\dots,v_k\} é uma base do subespaço (ou seja, vetores linearmente independentes que geram E_{\lambda}). Atenção importante: o autoespaço é o subespaço (o conjunto), enquanto a base é um conjunto de vetores que gera esse subespaço.
Passo 3
Receita prática (passo a passo) para obter o autoespaço de um autovalor \lambda usando Gauss–Jordan.
Calcule a matriz A-\lambda I. Aqui I é a identidade de mesma ordem que A; subtrai-se \lambda de cada entrada da diagonal de A.
Forme o sistema homogêneo
(A-\lambda I)x=0,
onde x tem componentes x_1,\dots,x_n.
3. Escreva a matriz ampliada para o sistema homogêneo — a coluna à direita é a coluna zero — ou simplesmente trabalhe com a matriz A-\lambda I para obter sua forma reduzida por linhas (RREF). Em notação prática, coloque a matriz (A-\lambda I) e transforme-a por operações elementares de linha até a forma reduzida por linhas.
4. Interpretando a RREF:
Colunas que têm pivôs correspondem a variáveis-pivô (dependentes).
Colunas sem pivôs são variáveis livres; cada variável livre gera um parâmetro (digamos t,s,\dots).
Escreva cada variável pivô em função das variáveis livres.
Parametrize o vetor solução x por esses parâmetros; a expressão resultante será uma combinação linear dos vetores geradores do núcleo.
onde \{v^{(1)},\dots,v^{(k)}\} é a base que você obteve (os vetores correspondentes aos parâmetros livres).
Dica para a prova: faça as operações com cuidado, identifique claramente as variáveis livres (normalmente as colunas sem pivô) e normalize os vetores da base se quiser (não é obrigatório, mas deixa a resposta mais limpa).
Passo 4
Breve explicação de como executar Gauss–Jordan (método de eliminação): operações permitidas e objetivo.
Operações elementares de linha:
trocar duas linhas R_i\leftrightarrow R_j,
multiplicar uma linha por um escalar não nulo k: R_i\leftarrow kR_i,
somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i\leftarrow R_i + k R_j.
Objetivo do Gauss–Jordan: obter uma matriz na forma reduzida por linhas (RREF), em que cada pivô é 1, cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna, e as linhas nulas (se existirem) ficam abaixo das não nulas. A leitura das equações resultantes dá imediatamente as relações entre variáveis e as variáveis livres.
Vou determinar os autoespaços associados a \lambda=2 e \lambda=3 mostrando Gauss–Jordan passo a passo. (Este é um exemplo didático; aplique o mesmo procedimento à sua matriz.)
Uma base para E_{3} é \left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.
Comentários sobre o exemplo: note que \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2 (aparece duas vezes na diagonal de A), mas o autoespaço E_2 tem dimensão 1 (multiplicidade geométrica 1) — isto é possível e comum; significa que A não é diagonalizável se não houver vetores suficientes para todas as multiplicidades algébricas. Tudo isso se detecta pelo cálculo dos autoespaços via a RREF de A-\lambda I.]
Passo 6
Resumo do que você deve entregar na prova (formato e atenção ao detalhe):
Para cada autovalor \lambda fornecido ou calculado, calcule A-\lambda I.
Faça Gauss–Jordan e apresente a RREF (mostre as operações se o professor pedir).
Identifique as variáveis livres e parametrize x.
Escreva o autoespaço como um conjunto (por exemplo, \{t(1,0,0)^T \mid t\in\mathbb{R}\}) e em seguida como um span com a base explicitada (por exemplo, \operatorname{span}\{(1,0,0)^T\}).
Não confunda: o autoespaço é o conjunto/subespaço; a base é um conjunto de vetores que gera esse subespaço — entregue ambos se for pedido ou pelo menos entregue o autoespaço como \operatorname{span}\{\dots\} indicando a base.
Resposta
Não é possível determinar os autoespaços porque a matriz A (ou os autovalores) não foram fornecidos.