determine o autoespaço associado a cada autovalor, escrevendo a expressão correta do conjunto (do jeito que fizemos em sala desde o começo do ano) - resolva os sistemas por Gauss-Jordan, para obter a base corretamente.
Cuidado para não confundir o subespaço (que é o autoespaço) com a base, na hora de redigir a solução;

Passo 1

O enunciado pede: determinar o autoespaço associado a cada autovalor, escrevendo o conjunto na forma adequada (como visto em sala), e resolver os sistemas usando Gauss–Jordan para obter a base correta.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma (não foi enviada a matriz A nem os autovalores).
Conclusão imediata: sem a matriz A (ou sem os autovalores), não é possível calcular numericamente os autoespaços pedidos. Vou, no entanto, explicar detalhadamente o que são autoespaços, o procedimento completo passo a passo para calcular cada autoespaço usando Gauss–Jordan, e resolver um exemplo concreto e comentado para que você possa aplicar o mesmo método na sua prova com a matriz que tiver.

Passo 2

O que é um autovalor, autovetor e autoespaço — definindo tudo com calma.
  • Seja uma matriz quadrada A de ordem n. Um escalar \lambda é um autovalor de A se existe um vetor v\neq 0 tal que
A v = \lambda v.
  • Reescrevendo:
(A-\lambda I)v = 0,
onde I é a matriz identidade de ordem n. Portanto, os autovetores associados a \lambda são precisamente os vetores não nulos do núcleo (nullspace) da matriz A-\lambda I.
  • O autoespaço associado a \lambda é o conjunto
E_{\lambda}=\{v\in\mathbb{R}^n \mid (A-\lambda I)v=0\}.
Este é um subespaço vetorial; normalmente expressamos E_{\lambda} como o span (fecho linear) de uma base: por exemplo,
E_{\lambda}=\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\},
onde \{v_1,\dots,v_k\} é uma base do subespaço (ou seja, vetores linearmente independentes que geram E_{\lambda}). Atenção importante: o autoespaço é o subespaço (o conjunto), enquanto a base é um conjunto de vetores que gera esse subespaço.

Passo 3

Receita prática (passo a passo) para obter o autoespaço de um autovalor \lambda usando Gauss–Jordan.
  1. Calcule a matriz A-\lambda I. Aqui I é a identidade de mesma ordem que A; subtrai-se \lambda de cada entrada da diagonal de A.
  2. Forme o sistema homogêneo
(A-\lambda I)x=0,
onde x tem componentes x_1,\dots,x_n.
3. Escreva a matriz ampliada para o sistema homogêneo — a coluna à direita é a coluna zero — ou simplesmente trabalhe com a matriz A-\lambda I para obter sua forma reduzida por linhas (RREF). Em notação prática, coloque a matriz (A-\lambda I) e transforme-a por operações elementares de linha até a forma reduzida por linhas.
4. Interpretando a RREF:
  • Colunas que têm pivôs correspondem a variáveis-pivô (dependentes).
  • Colunas sem pivôs são variáveis livres; cada variável livre gera um parâmetro (digamos t,s,\dots).
  • Escreva cada variável pivô em função das variáveis livres.
  • Parametrize o vetor solução x por esses parâmetros; a expressão resultante será uma combinação linear dos vetores geradores do núcleo.
  1. Escreva o autoespaço na forma
E_{\lambda}=\left\{\,\alpha_1 v^{(1)}+\cdots+\alpha_k v^{(k)} \mid \alpha_i\in\mathbb{R}\,\right\} = \operatorname{span}\{v^{(1)},\dots,v^{(k)}\},
onde \{v^{(1)},\dots,v^{(k)}\} é a base que você obteve (os vetores correspondentes aos parâmetros livres).
Dica para a prova: faça as operações com cuidado, identifique claramente as variáveis livres (normalmente as colunas sem pivô) e normalize os vetores da base se quiser (não é obrigatório, mas deixa a resposta mais limpa).

Passo 4

Breve explicação de como executar Gauss–Jordan (método de eliminação): operações permitidas e objetivo.
  • Operações elementares de linha:
    1. trocar duas linhas R_i\leftrightarrow R_j,
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo k: R_i\leftarrow kR_i,
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i\leftarrow R_i + k R_j.
  • Objetivo do Gauss–Jordan: obter uma matriz na forma reduzida por linhas (RREF), em que cada pivô é 1, cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna, e as linhas nulas (se existirem) ficam abaixo das não nulas. A leitura das equações resultantes dá imediatamente as relações entre variáveis e as variáveis livres.

Passo 5

Exemplo completo (para treinar): seja
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\[4pt]0 & 2 & 0\\[4pt]0 & 0 & 3\end{pmatrix}.
Vou determinar os autoespaços associados a \lambda=2 e \lambda=3 mostrando Gauss–Jordan passo a passo. (Este é um exemplo didático; aplique o mesmo procedimento à sua matriz.)
Passo A (autovalor \lambda=2):
  1. Calcular A-2I:
A-2I=\begin{pmatrix}2-2 & 1 & 0\\[4pt]0 & 2-2 & 0\\[4pt]0 & 0 & 3-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
  1. Montar o sistema (A-2I)x=0. Denotando x=(x_1,x_2,x_3)^T, o sistema corresponde às equações:
    • primeira linha: 0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = 0, ou seja x_2=0;
    • segunda linha: 0=0 (linha nula);
    • terceira linha: 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 0, ou seja x_3=0.
  2. Identificar variáveis: x_2 e x_3 são fixadas como 0; x_1 não aparece em nenhuma equação — é variável livre. Então escrevemos
x_1=t,\qquad x_2=0,\qquad x_3=0,\qquad t\in\mathbb{R}.
  1. Escrever vetorialmente:
x = t\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  1. Conclusão: o autoespaço associado a \lambda=2 é
E_{2}=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}.
Uma base para E_{2} é \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}.
Passo B (autovalor \lambda=3):
  1. Calcular A-3I:
A-3I=\begin{pmatrix}2-3 & 1 & 0\\[4pt]0 & 2-3 & 0\\[4pt]0 & 0 & 3-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 1 & 0\\[4pt]0 & -1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
  1. Aplicar Gauss–Jordan (fazendo operações para obter RREF):
    • Multiplique a primeira linha por -1: R_1\leftarrow -R_1 (1,-1,0).
    • Multiplique a segunda linha por -1: R_2\leftarrow -R_2 (0,1,0).
    • A partir de R_1=(1,-1,0) e R_2=(0,1,0), elimine o -1 em R_1 somando R_1\leftarrow R_1 + R_2, obtendo R_1=(1,0,0).
    • A terceira linha já é nula.
    • A RREF final é
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
  1. Interpretando: as duas primeiras colunas têm pivôs (variáveis pivô x_1 e x_2 são ambas zero), a terceira coluna é livre. Escrevendo as equações:
    • x_1=0,
    • x_2=0,
    • x_3 é livre, escreva x_3=s.
  2. Vetorialmente:
x = s\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad s\in\mathbb{R}.
  1. Conclusão: o autoespaço associado a \lambda=3 é
E_{3}=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.
Uma base para E_{3} é \left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.
Comentários sobre o exemplo: note que \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2 (aparece duas vezes na diagonal de A), mas o autoespaço E_2 tem dimensão 1 (multiplicidade geométrica 1) — isto é possível e comum; significa que A não é diagonalizável se não houver vetores suficientes para todas as multiplicidades algébricas. Tudo isso se detecta pelo cálculo dos autoespaços via a RREF de A-\lambda I.]

Passo 6

Resumo do que você deve entregar na prova (formato e atenção ao detalhe):
  • Para cada autovalor \lambda fornecido ou calculado, calcule A-\lambda I.
  • Faça Gauss–Jordan e apresente a RREF (mostre as operações se o professor pedir).
  • Identifique as variáveis livres e parametrize x.
  • Escreva o autoespaço como um conjunto (por exemplo, \{t(1,0,0)^T \mid t\in\mathbb{R}\}) e em seguida como um span com a base explicitada (por exemplo, \operatorname{span}\{(1,0,0)^T\}).
  • Não confunda: o autoespaço é o conjunto/subespaço; a base é um conjunto de vetores que gera esse subespaço — entregue ambos se for pedido ou pelo menos entregue o autoespaço como \operatorname{span}\{\dots\} indicando a base.

Resposta

Não é possível determinar os autoespaços porque a matriz A (ou os autovalores) não foram fornecidos.

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