Seja V=\mathbb{R}^{3} e o conjunto
B=\{(0,1,1),(1,1,0),(1,2,1)\} \subset \mathbb{R}^{3}
a) Mostrar que B não é base do \mathbb{R}^{3}.
b) Determinar uma base do \mathbb{R}^{3} que possua dois elementos de B.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3} e o conjunto
B=\{\,v_{1},v_{2},v_{3}\,\}=\{(0,1,1),(1,1,0),(1,2,1)\}.
Perguntas:
  • (a) Mostrar que B não é base de \mathbb{R}^{3}.
  • (b) Determinar uma base de \mathbb{R}^{3} que possua dois elementos de B.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os três vetores v_{1}=(0,1,1), v_{2}=(1,1,0) e v_{3}=(1,2,1) pertencem a \mathbb{R}^{3}.
  • Para decidir se um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^{3} é base, é suficiente verificar se eles são linearmente independentes (ou equivalente: se têm determinante não nulo quando escritos como colunas de uma matriz 3\times3).

Passo 2

Explicação do critério e escolha do método:
  • Definição: vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes se a única solução do sistema \alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0 é \alpha=\beta=\gamma=0.
  • Método prático: montar a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3} e calcular o determinante; se \det\neq 0 então são independentes; se \det=0 então são dependentes.
Formo a matriz com as colunas sendo v_{1},v_{2},v_{3}:
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora calculo \det(A) usando expansão pela primeira linha. A fórmula (expansão pela primeira linha) é:
\det(A)=a_{11}\,C_{11}+a_{12}\,C_{12}+a_{13}\,C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}) e M_{1j} é a menor obtida eliminando a linha 1 e a coluna j.
Aplicando:
\det(A)=0\cdot C_{11}+1\cdot C_{12}+1\cdot C_{13}.
Calculo as menores:
M_{12}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},\qquad M_{13}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Os cofatores são C_{12}=(-1)^{1+2}\det(M_{12})=-\det(M_{12}) e C_{13}=(-1)^{1+3}\det(M_{13})=+\det(M_{13}).
Então
\det(A)=-\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} +\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Calculo cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot 1 - 2\cdot 1 = -1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1.
Substituindo:
\det(A)= -(-1) + (-1) = 1-1 = 0.]

Passo 3

Interpretação do resultado do determinante e demonstração alternativa (relação linear explícita):
  • Como [\det(A)=0), as colunas de A (isto é, v_{1},v_{2},v_{3}) são linearmente dependentes. Vou também encontrar explicitamente uma combinação linear não-trivial que dê zero, para ver concretamente a dependência.
Procuro \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha(0,1,1)+\beta(1,1,0)+\gamma(1,2,1)=(0,0,0).
Isso gera o sistema por componentes:
\begin{cases} \beta+\gamma=0,\\[4pt] \alpha+\beta+2\gamma=0,\\[4pt] \alpha+\gamma=0. \end{cases}
Da terceira equação segue \alpha=-\gamma\]. Da primeira segue \(\beta=-\gamma. Substituindo na segunda:
(-\gamma)+(-\gamma)+2\gamma=0,
que é 0=0 (verdadeiro para qualquer \gamma). Logo há uma família de soluções: (\alpha,\beta,\gamma)=(-t,-t,t) para t\in\mathbb{R}. Tomando t=1 obtemos uma relação não-trivial:
-1\cdot v_{1} -1\cdot v_{2} +1\cdot v_{3} = 0,
ou seja,
v_{3}=v_{1}+v_{2}.
Isso confirma explicitamente a dependência linear.]

Passo 4

Conclusão da parte (a) e início da (b): como v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente dependentes, o conjunto B não é uma base de \mathbb{R}^{3} (uma base de \mathbb{R}^{3} precisa ter exatamente três vetores linearmente independentes).
Para (b) quero construir uma base de \mathbb{R}^{3} que contenha dois elementos de B. Observação prática: quaisquer dois vetores distintos de B são linearmente independentes (nenhum é múltiplo escalar do outro), portanto posso escolher dois deles e completar com um terceiro vetor que não esteja no seu subespaço gerado.
Escolho, por exemplo, os dois primeiros vetores de B:
v_{1}=(0,1,1),\qquad v_{2}=(1,1,0).
Verifico rapidamente que são independentes: suponha \alpha v_{1}+\beta v_{2}=0. Isso dá o sistema
(\beta,\\ \alpha+\beta,\\ \alpha)=(0,0,0),
logo \beta=0 e \alpha=0. Assim são independentes.
Agora escolho um vetor óbvio fora do espaço gerado por v_{1},v_{2}, por exemplo e_{1}=(1,0,0). Para garantir que \{v_{1},v_{2},e_{1}\} seja uma base, calculo o determinante da matriz com essas colunas:
B_{mat}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Calculo \det(B_{mat}) pela primeira linha:
\det(B_{mat})=0\cdot(\cdots)-1\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
Os determinantes 2\times2 são
\det\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}=1\cdot 0 - 0\cdot 1 = 0,
\det\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}=1\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1.
Logo
\det(B_{mat})= -0 + (-1) = -1 \neq 0.
Como o determinante é não nulo, as colunas são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Assim \{v_{1},v_{2},e_{1}\} é uma base que contém dois elementos de B.
Observação: poderia igualmente escolher qualquer outra dupla de B e completar com um vetor apropriado (por exemplo e_{1} ou e_{2} ou qualquer vetor que não esteja no span dos dois escolhidos).]

Resposta

a) B não é base de \mathbb{R}^{3}.
b) Uma base de \mathbb{R}^{3} que possui dois elementos de B é \{(0,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}.

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