Seja V=\mathbb{R}^{3} e o conjunto B=\{(0,1,1),(1,1,0),(1,2,1)\} \subset \mathbb{R}^{3}
a) Mostrar que B não é base do \mathbb{R}^{3}.
b) Determinar uma base do \mathbb{R}^{3} que possua dois elementos de B.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3} e o conjunto
(b) Determinar uma base de \mathbb{R}^{3} que possua dois elementos de B.
Informações relevantes fornecidas:
Os três vetores v_{1}=(0,1,1), v_{2}=(1,1,0) e v_{3}=(1,2,1) pertencem a \mathbb{R}^{3}.
Para decidir se um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^{3} é base, é suficiente verificar se eles são linearmente independentes (ou equivalente: se têm determinante não nulo quando escritos como colunas de uma matriz 3\times3).
Passo 2
Explicação do critério e escolha do método:
Definição: vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes se a única solução do sistema \alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0 é \alpha=\beta=\gamma=0.
Método prático: montar a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3} e calcular o determinante; se \det\neq 0 então são independentes; se \det=0 então são dependentes.
Formo a matriz com as colunas sendo v_{1},v_{2},v_{3}:
Interpretação do resultado do determinante e demonstração alternativa (relação linear explícita):
Como [\det(A)=0), as colunas de A (isto é, v_{1},v_{2},v_{3}) são linearmente dependentes. Vou também encontrar explicitamente uma combinação linear não-trivial que dê zero, para ver concretamente a dependência.
Da terceira equação segue \alpha=-\gamma\]. Da primeira segue \(\beta=-\gamma. Substituindo na segunda:
(-\gamma)+(-\gamma)+2\gamma=0,
que é 0=0 (verdadeiro para qualquer \gamma). Logo há uma família de soluções: (\alpha,\beta,\gamma)=(-t,-t,t) para t\in\mathbb{R}. Tomando t=1 obtemos uma relação não-trivial:
-1\cdot v_{1} -1\cdot v_{2} +1\cdot v_{3} = 0,
ou seja,
v_{3}=v_{1}+v_{2}.
Isso confirma explicitamente a dependência linear.]
Passo 4
Conclusão da parte (a) e início da (b): como v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente dependentes, o conjunto B não é uma base de \mathbb{R}^{3} (uma base de \mathbb{R}^{3} precisa ter exatamente três vetores linearmente independentes).
Para (b) quero construir uma base de \mathbb{R}^{3} que contenha dois elementos de B. Observação prática: quaisquer dois vetores distintos de B são linearmente independentes (nenhum é múltiplo escalar do outro), portanto posso escolher dois deles e completar com um terceiro vetor que não esteja no seu subespaço gerado.
Escolho, por exemplo, os dois primeiros vetores de B:
v_{1}=(0,1,1),\qquad v_{2}=(1,1,0).
Verifico rapidamente que são independentes: suponha \alpha v_{1}+\beta v_{2}=0. Isso dá o sistema
(\beta,\\ \alpha+\beta,\\ \alpha)=(0,0,0),
logo \beta=0 e \alpha=0. Assim são independentes.
Agora escolho um vetor óbvio fora do espaço gerado por v_{1},v_{2}, por exemplo e_{1}=(1,0,0). Para garantir que \{v_{1},v_{2},e_{1}\} seja uma base, calculo o determinante da matriz com essas colunas:
Como o determinante é não nulo, as colunas são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Assim \{v_{1},v_{2},e_{1}\} é uma base que contém dois elementos de B.
Observação: poderia igualmente escolher qualquer outra dupla de B e completar com um vetor apropriado (por exemplo e_{1} ou e_{2} ou qualquer vetor que não esteja no span dos dois escolhidos).]
Resposta
a) B não é base de \mathbb{R}^{3}.
b) Uma base de \mathbb{R}^{3} que possui dois elementos de B é \{(0,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}.