O que vou determinar (assumindo o pedido padrão desta questão): todos os autovalores de A e os autovetores correspondentes (ou seja, as bases dos autoespaços). Vou também explicar passo a passo como chegar nisso e por que funciona.
Passo 2
Lembrete rápido e definição: um vetor não nulo x é autovetor de A com autovalor \lambda se
A x = \lambda x.
Equivalente é resolver
(A-\lambda I)x=0,
onde I é a matriz identidade. Para achar autovalores normalmente se resolve a condição \det(A-\lambda I)=0 (polinômio característico). Aqui porém existe um truque muito prático: observe a estrutura de A.
Note que a matriz J que tem todos os elementos iguais a 1 (matriz 3\times3 de uns) satisfaz J_{ij}=1 para todo i,j. Compare A com J:
porque 3I tem 3 na diagonal e 0 fora, e subtraindo J obtemos 2 na diagonal e -1 fora da diagonal. Essa observação simplifica bastante o problema.
Passo 3
Propriedade útil sobre J: se u é o vetor \,u=(1,1,1)^{T}\,, então
J u = 3 u,
ou seja, u é autovetor de J com autovalor 3. Além disso, qualquer vetor v com soma das componentes igual a zero satisfaz J v = 0 (porque cada componente de Jv é a soma das componentes de v). Logo os autovalores de J são 3 (multiplicidade 1) e 0 (multiplicidade 2).
Como A=3I-J, os autovalores de A são obtidos subtraindo os autovalores de J de 3. Assim:
do autovalor 3 de J vem um autovalor de A igual a 3-3=0;
do autovalor 0 de J (multiplicidade 2) vêm autovalores de A iguais a 3-0=3 (multiplicidade 2).
Portanto, os autovalores de A são \lambda=0 (multiplicidade 1) e \lambda=3 (multiplicidade 2). Isto confirma a informação dada de que \lambda=3 é um autovalor.
Passo 4
Agora vamos encontrar explicitamente os autovetores (os autoespaços).
Primeiro o caso \lambda=0. Resolver A x = 0. Usando A=3I-J,
(3I - J)x = 0 \quad\Longrightarrow\quad Jx = 3x.
Isto mostra que x deve ser um autovetor de J com autovalor 3. Como já vimos, u=(1,1,1)^{T} satisfaz J u=3u. Logo
\text{para }\lambda=0\quad\text{o(s) autovetor(es) são múltiplos de } \,(1,1,1)^{T}.ãú
Em outras palavras, autoespaço de \lambda=0 é \operatorname{span}\{(1,1,1)^{T}\}.
Passo 5
Agora o caso \lambda=3. Resolver (A-3I)x=0. Calcule A-3I:
A equação (A-3I)x=0 é então -J x = 0, ou seja Jx=0. Como já explicado, Jx=0 significa que a soma das componentes de x é zero:
x_1+x_2+x_3=0.
O subespaço das soluções tem dimensão 2 (uma condição linear em \mathbb{R}^3), concordando com a multiplicidade algébrica 2. Basta dar duas soluções linearmente independentes que somem zero. Por exemplo:
Verificação rápida: para cada um, a soma das componentes é 0, logo Jv^{(i)}=0 e portanto A v^{(i)} = 3 v^{(i)}. Esses dois vetores geram o autoespaço associado a \lambda=3.
Passo 6
Resumo das conclusões e observações finais (úteis para a prova):
Os autovalores são \lambda=3 (multiplicidade 2) e \lambda=0 (multiplicidade 1).
Um autovetor associado a \lambda=0 é (1,1,1)^{T}.
Uma base do autoespaço associado a \lambda=3 é, por exemplo, \{(1,-1,0)^{T},\,(1,0,-1)^{T}\}.
Como existe um conjunto de 3 autovetores linearmente independentes (um para \lambda=0 e dois para \lambda=3), a matriz A é diagonalizável.
Dica prática para provas: reconheça matrizes do tipo “constante na diagonal e outra constante fora” — elas costumam ser expressáveis como \alpha I + \beta J, o que torna o problema de autovalores muito rápido, porque os autovalores de J são conhecidos (um valor igual a n e o resto zero).
Resposta
Autovalores: \lambda=3 (multiplicidade 2), \lambda=0 (multiplicidade 1).
Autovetores: para \lambda=0 a base é \{(1,1,1)^{T}\}; para \lambda=3 uma base é \{(1,-1,0)^{T},(1,0,-1)^{T}\}.