Determine os autovalores e autovetores da matriz de Householder H= I-2 v v^{T}, onde v é um vetor unitário em R^{4}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar os autovalores (valores próprios) e os autovetores (vetores próprios) da matriz de Householder
H = I - 2\, v v^{T},
onde v é um vetor unitário em \mathbb{R}^{4}.
Informações dadas:
  • v\in\mathbb{R}^{4}.
  • v é unitário, isto é \,v^{T}v=1.
  • A matriz H é definida por H = I - 2\, v v^{T}.
  • O objetivo é listar os autovalores e descrever os autovetores correspondentes (ou seus espaços próprios).

Passo 2

O que significa ser autovalor / autovetor (rápido lembrete didático): um número \lambda\in\mathbb{R} é autovalor de H e x\neq 0 é autovetor associado se
H x = \lambda x.
Vou testar primeiro vetores relacionados diretamente a v: o próprio v e vetores ortogonais a v. Esses casos costumam ser os mais relevantes para matrizes do tipo I-2vv^{T}.

Passo 3

Calcular H v. Usando a definição de H e a propriedade \,v^{T}v=1:
H v = (I - 2\,v v^{T})\,v = v - 2\,v \underbrace{(v^{T}v)}_{=1} = v - 2v = -v.
Interpretação didática: ao aplicar H ao vetor v obtemos -v, então v é autovetor de H com autovalor -1.

Passo 4

Agora considere qualquer vetor w\in\mathbb{R}^{4} tal que v^{T}w=0 (isto é, w é ortogonal a v). Calcule H w:
H w = (I - 2\,v v^{T})\,w = w - 2\,v (v^{T}w) = w - 2\,v\cdot 0 = w.
Portanto qualquer w ortogonal a v é autovetor com autovalor 1.

Passo 5

Conclusão parcial sobre autovalores e multiplicidades (explicando por que não há outros valores):
  • Já encontramos um autovalor -1 com autovetor v.
  • Encontramos que todo vetor do subespaço \{w\in\mathbb{R}^{4} \mid v^{T}w=0\} é autovetor com autovalor 1. Esse subespaço é o complementar ortogonal de v e tem dimensão 3 (pois estamos em \mathbb{R}^{4} e retiramos a direção de v).
  • Assim o autovalor 1 tem multiplicidade geométrica 3 e o autovalor -1 tem multiplicidade geométrica 1.

Passo 6

Verificação adicional e interpretação: propriedades da matriz Householder que ajudam a entender os autovalores.
  • H é simétrica porque (I-2vv^{T})^{T}=I-2v v^{T}=H.
  • Calcule H^{2}:
H^{2}=(I-2vv^{T})^{2}=I -4vv^{T} +4\,vv^{T}vv^{T}.
Mas vv^{T}vv^{T}=v\,(v^{T}v)\,v^{T}=v\cdot 1 \cdot v^{T}=vv^{T}. Logo
H^{2}=I -4vv^{T}+4vv^{T}=I.
Como H^{2}=I, os únicos autovalores possíveis são \pm 1. Isso confirma que a descrição dos autovalores encontrados ( -1 e 1) está completa.

Passo 7

Como construir uma base de autovetores (passo prático para a prova):
  • Take v (já é autovetor associado a -1).
  • Complete v a uma base ortonormal de \mathbb{R}^{4} (por exemplo, usando o processo de Gram–Schmidt) obtendo vetores u_{1},u_{2},u_{3} tais que u_{i}^{T}v=0 e u_{i}^{T}u_{j}=\delta_{ij}.
  • Esses u_{1},u_{2},u_{3} serão autovetores de H com autovalor 1.
    Exemplo simples: se v=e_{1}=(1,0,0,0)^{T}, então
H = I - 2 e_{1} e_{1}^{T} = \operatorname{diag}(-1,1,1,1),
cujo autovetor para -1 é e_{1} e autovetores para 1 são e_{2},e_{3},e_{4}.

Resposta

-1: autovetor \,v.\n
1: espaço próprio \{w\in\mathbb{R}^{4}\mid v^{T}w=0\} (multiplicidade geométrica 3).

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