Q12: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
. Procure entender por que isto è mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
Passo 1
O enunciado dá:
-
. -
.
O que é pedido:
- Calcular
, a projeção ortogonal de sobre , e em particular encontrar , a terceira entrada de .
Passo 2
Idéia prática (dica do enunciado): é mais fácil projetar
em
e subtrair essa projeção de
. Explicando porquê, sem formalismo pesado: qualquer vetor
pode ser escrito como soma
onde
e
. Então
. Se conseguirmos
, obtemos
imediatamente.
Passo 3
Obter um gerador de
. A equação de
é
; os coeficientes formam um vetor normal a
. Assim tomamos
Como
(é uma reta), projetar em
equivale a projetar na direção de
.
Passo 4
Fórmula da projeção de
sobre a reta gerada por
. Se um vetor
está na direção de
, então
para algum escalar
. A condição de projeção ortogonal impõe que
seja ortogonal a
, isto é
. Deste fato segue a fórmula conhecida
Aqui
é o produto interno (soma dos produtos coordenada a coordenada) e
é o quadrado da norma de
.
Passo 5
Calcular os produtos internos envolvidos. Primeiro
Depois
Logo o escalar multiplicador é
Passo 6
A projeção de
em
é
Então a projeção de
sobre
é
Subtraindo coordenada a coordenada:
Passo 7
A terceira entrada de
é, portanto,