Q12: Sejam \vec{v}=(9,10,-3,0) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+3 y-2 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P H \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} \mathrm{em} H^{\perp}. Procure entender por que isto è mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O enunciado dá:
  • \vec{v}=(9,10,-3,0).
  • H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+3y-2z+w=0\}.
O que é pedido:
  • Calcular \vec{w}=P_H\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e em particular encontrar w_{3}, a terceira entrada de \vec{w}.

Passo 2

Idéia prática (dica do enunciado): é mais fácil projetar \vec{v} em H^{\perp} e subtrair essa projeção de \vec{v}. Explicando porquê, sem formalismo pesado: qualquer vetor \vec{v} pode ser escrito como soma
\vec{v}=\vec{w}+\vec{u},
onde \vec{w}\in H e \vec{u}\in H^{\perp}. Então \vec{w}=\vec{v}-\vec{u}. Se conseguirmos \vec{u}=\operatorname{proj}_{H^{\perp}}\vec{v}, obtemos \vec{w} imediatamente.

Passo 3

Obter um gerador de H^{\perp}. A equação de H é x+3y-2z+w=0; os coeficientes formam um vetor normal a H. Assim tomamos
\vec{n}=(1,3,-2,1).
Como H^{\perp}=\operatorname{span}\{\vec{n}\} (é uma reta), projetar em H^{\perp} equivale a projetar na direção de \vec{n}.

Passo 4

Fórmula da projeção de \vec{v} sobre a reta gerada por \vec{n}. Se um vetor \vec{u} está na direção de \vec{n}, então \vec{u}=c\,\vec{n} para algum escalar c. A condição de projeção ortogonal impõe que \vec{v}-c\vec{n} seja ortogonal a \vec{n}, isto é (\vec{v}-c\vec{n})\cdot\vec{n}=0. Deste fato segue a fórmula conhecida
\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Aqui \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto interno (soma dos produtos coordenada a coordenada) e \vec{n}\cdot\vec{n} é o quadrado da norma de \vec{n}.

Passo 5

Calcular os produtos internos envolvidos. Primeiro
\vec{v}\cdot\vec{n}=9\cdot1+10\cdot3+(-3)\cdot(-2)+0\cdot1=9+30+6+0=45.
Depois
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+3^2+(-2)^2+1^2=1+9+4+1=15.
Logo o escalar multiplicador é
\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}=\frac{45}{15}=3.

Passo 6

A projeção de \vec{v} em H^{\perp} é
\operatorname{proj}_{H^{\perp}}\vec{v}=3\,\vec{n}=3(1,3,-2,1)=(3,9,-6,3).
Então a projeção de \vec{v} sobre H é
\vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{H^{\perp}}\vec{v}=(9,10,-3,0)-(3,9,-6,3).
Subtraindo coordenada a coordenada:
\vec{w}=(9-3,\;10-9,\;-3-(-6),\;0-3)=(6,1,3,-3).

Passo 7

A terceira entrada de \vec{w} é, portanto,
w_{3}=3.

Resposta

3

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