Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(0,0,1,-3),(3,0,-1,0),(9,0,-1,-6)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de \mathrm{H}^{+}(complemento ortogonal de H )?
(A) \{(4,-2,4,-3)\}
(B) \{(3,2,3,-2),(1,-3,3,1)\}
(C) \{(1,-3,3,1)\}
(D) \{(3,2,3,-2),(4,-2,4,-3)\}
(E) \{(3,-4,9,3)\}
(F) \{(3,-4,9,3),(1,-3,3,1)\}
(G) \{(3,-4,9,3),(4,-2,4,-3)\}
(H) \{(3,2,3,-2)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 gerado por três vetores:
H=\operatorname{span}\{(0,0,1,-3),\;(3,0,-1,0),\;(9,0,-1,-6)\}.
A pergunta é: qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H)?
Vou usar as informações acima (os três vetores geradores de H) para encontrar H^{\perp} e então testar as opções fornecidas.

Passo 2

Conceito e método que vou usar (explicando devagar): um vetor v=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 pertence a H^{\perp} quando é ortogonal a cada gerador de H. A ortogonalidade é verificada pelo produto escalar: para dois vetores u=(u_1,u_2,u_3,u_4) e v=(x_1,x_2,x_3,x_4),
u\cdot v = u_1x_1+u_2x_2+u_3x_3+u_4x_4.
Portanto, vou impor que v tenha produto escalar zero com cada um dos três vetores que geram H. Isso gera um sistema linear em x_1,x_2,x_3,x_4. Resolver esse sistema dá a descrição de H^{\perp}.

Passo 3

Escrevendo v=(x_1,x_2,x_3,x_4) e impondo v ortogonal aos três geradores, obtemos as equações:
Produto escalar com (0,0,1,-3):
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 + (-3)\cdot x_4 = 0
ou seja
x_3 - 3x_4 = 0.
Produto escalar com (3,0,-1,0):
3x_1 + 0\cdot x_2 + (-1)x_3 + 0\cdot x_4 = 0
ou seja
3x_1 - x_3 = 0.
Produto escalar com (9,0,-1,-6):
9x_1 + 0\cdot x_2 + (-1)x_3 + (-6)x_4 = 0
ou seja
9x_1 - x_3 - 6x_4 = 0.

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo.
Da primeira equação:
x_3 = 3x_4.
Da segunda equação:
x_3 = 3x_1.
Igualando as duas expressões para x_3:
3x_1 = 3x_4 \quad\Rightarrow\quad x_1 = x_4.
Verifico a terceira equação substituindo x_3=3x_1 e x_4=x_1:
9x_1 - x_3 - 6x_4 = 9x_1 - 3x_1 - 6x_1 = 0,
ou seja, a terceira equação é redundante (é satisfeita automaticamente pelas duas primeiras). Não há restrição sobre x_2 (aparece com coeficiente zero em todas as equações), então x_2 é livre.
Portanto, posso parametrizar as soluções por t e s tomando t:=x_1 e s:=x_2. Então
x_1 = t,\quad x_2 = s,\quad x_3 = 3t,\quad x_4 = t.

Passo 5

Escrevendo a solução vetorial:
(x_1,x_2,x_3,x_4) = (t,s,3t,t) = t(1,0,3,1) + s(0,1,0,0).
Logo
H^{\perp} = \operatorname{span}\{(1,0,3,1),\;(0,1,0,0)\}.
Explicando: os vetores (1,0,3,1) e (0,1,0,0) geram H^{\perp}. Eles são linearmente independentes porque, se a(1,0,3,1)+b(0,1,0,0)=(0,0,0,0), olhando a segunda coordenada vem b=0 e então olhando a primeira vem a=0. Assim \dim H^{\perp}=2.
Uma forma prática de testar se um vetor v=(v_1,v_2,v_3,v_4) pertence a H^{\perp} é checar as condições derivadas acima:
v_3 = 3v_1 \quad\text{e}\quad v_4 = v_1,
com v_2 livre.

Passo 6

Agora verifico as opções dadas usando o critério v_3=3v_1 e v_4=v_1, e também verifico se o número de vetores e independência batem com \dim H^{\perp}=2.
  • (A) (4,-2,4,-3): aqui v_1=4 e v_3=4, mas 3v_1=12\neq4. Portanto não está em H^{\perp}. Então (A) falha.
  • (B) tem (3,2,3,-2) e (1,-3,3,1).
    • Para (1,-3,3,1): v_3=3=3\cdot1 e v_4=1=v_1, então pertence a H^{\perp}.
    • Para (3,2,3,-2): v_3=3 mas 3v_1=9\neq3. Não pertence a H^{\perp}. Logo (B) falha.
  • (C) (1,-3,3,1) é um vetor de H^{\perp} mas é apenas um vetor; como \dim H^{\perp}=2 não é base (faltaria um vetor independente). Então (C) falha.
  • (D) (3,2,3,-2) falha como já visto; (4,-2,4,-3) também falha. Então (D) falha.
  • (E) (3,-4,9,3): aqui v_3=9 e 3v_1=9, e v_4=3=v_1. Portanto pertence a H^{\perp}. Mas é só um vetor; como \dim H^{\perp}=2, não é base por si só. (E) falha.
  • (F) vetores (3,-4,9,3) e (1,-3,3,1).
    • Já verifiquei que ambos pertencem a H^{\perp}.
    • São independentes? Para ver se são combinação linear dos vetores canônicos da base que encontrei: (3,-4,9,3)=3(1,0,3,1)-4(0,1,0,0) e (1,-3,3,1)=1(1,0,3,1)-3(0,1,0,0). Os coeficientes formam a matriz \begin{pmatrix}3 & 1\\\\ -4 & -3\end{pmatrix} (colunas correspondendo aos dois vetores em coordenadas da base \{(1,0,3,1),(0,1,0,0)\}); o determinante é 3\cdot(-3)-1\cdot(-4)=-9+4=-5\neq0. Portanto são independentes e geram todo H^{\perp}. Assim (F) é uma base de H^{\perp}.
  • (G) (3,-4,9,3) está em H^{\perp} mas (4,-2,4,-3) não (já verifiquei). Então (G) falha.
  • (H) (3,2,3,-2) não pertence a H^{\perp} (verificado antes). Além disso, é apenas um vetor. Então (H) falha.

Passo 7

Conclusão: entre as opções, apenas a opção (F) fornece dois vetores que estão em H^{\perp}, são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de H^{\perp}.

Resposta

(F)

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