Determine os autovalores em função de alpha.

  1. x^prime=(cc4 & alpha 8 & -6) x

Passo 1

O enunciado pede os autovalores do sistema x'=Ax com
A=4 & alpha8 & -6
em função de alpha. Vamos usar a teoria de autovalores que diz que eles são as raízes do determinante det(A-lambda I)=0.

Passo 2

Escrevemos a matriz A-lambda I:
A-lambda I=4-lambda & alpha8 & -6-lambda
Pela definição, o polinômio característico vem de det(A-lambda I)=0.

Passo 3

Calculamos o determinante:
det(A-lambda I)=(4-lambda)(-6-lambda)-8alpha =lambda^2+2lambda-24-8alpha
Logo o polinômio característico é
lambda^2+2lambda-(24+8alpha)=0

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para lambda^2+2lambda-(24+8alpha)=0. O discriminante é
De
e as raízes são
lambda=-2pmraiz100+32alpha2=-1pmraiz25+8alpha

Resposta

Os autovalores são
lambda1,2=-1pmraiz25+8alpha

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