z=y(x, y)=e^y / x cdot ln (x^2y)
Encontre partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

Na questão temos a função z(x,y) = e^y/xln!l(x^2yr). Para resolver precisamos aplicar derivadas parciais, usando regra do produto (pois z = ucdot v) e regra da cadeia (para e^y/x e ln(cdot)).

Passo 2

Para calcular partial zpartial x definimos u = e^y/x e v = ln!l(x^2yr). Primeiro achamos
partial upartial x = e^yxcdot(-yx^2)
pois ddx(y/x) = -y/x^2. Em seguida,
v = 2ln x - ln yimplies partial vpartial x = 2x
Por fim, pela regra do produto:
partial zpartial x = partial upartial x,v + u,partial vpartial x = e^yxl(-yx^2r)ln!l(tfracx^2yr) + e^yx2x

Passo 3

Para calcular partial zpartial y usamos de novo u = e^y/x e v = ln!l(x^2yr). Temos
partial upartial y = e^yxcdot1x
pois ddy(y/x) = 1/x, e
partial vpartial y = -1y,
já que ln(x^2/y)=2ln x - ln y. Logo,
partial zpartial y = partial upartial y,v + u,partial vpartial y = e^yx1xln!l(tfracx^2yr) - e^yx1y

Resposta

partial zpartial x = e^yxl(2x - yx^2lnx^2yr),partial zpartial y = e^yxl(1xlnx^2y - 1yr)

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