Determine, com auxílio da transformada de Laplace, a solução geral do sistema de equações diferenciais doty(t)=x(t)-1 e dotx(t)=y(t)+1, sujeito às condições iniciais y(0)=0 e x(0)=1.

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é um sistema de equações diferenciais que a gente vai resolver usando a transformada de Laplace. O enunciado diz:
\dot y(t)=x(t)−1 e \dot x(t)=y(t)+1, com as condições iniciais y(0)=0 e x(0)=1.
Isso é assunto de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e o truque é virar tudo transformada de Laplace, resolver no “s” e depois voltar pra “t”. Para isso precisamos lembrar:
  1. L{y′(t)}=sY(s)−y(0)
  2. L{x′(t)}=sX(s)−x(0)
  3. Tabela básica: L{1}=1/s, L{e^{at}}=1/(s−a), etc.

Passo 2

Vamos aplicar Laplace em cada equação. Definimos Y(s)=L{y(t)} e X(s)=L{x(t)}.
  1. Em \dot y(t)=x(t)−1:
    L{\dot y}=sY(s)−y(0)=sY(s)−0,
    L{x(t)−1}=X(s)−1/s.
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    sY(s)=X(s)−\frac1s.
  2. Em \dot x(t)=y(t)+1:
    L{\dot x}=sX(s)−x(0)=sX(s)−1,
    L{y(t)+1}=Y(s)+1/s.
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    sX(s)−1=Y(s)+\frac1s.

Passo 3

Agora temos o sistema em s:
(i) sY(s)=X(s)−\frac1s
(ii) sX(s)−1=Y(s)+\frac1s
Da (i): X(s)=sY(s)+1/s.
Substituindo em (ii):
s\bigl(sY(s)+\tfrac1s\bigr)−1 = Y(s)+\tfrac1s
⇔ s^2Y(s)+1−1 = Y(s)+\tfrac1s
⇔ s^2Y(s)=Y(s)+\tfrac1s
⇔ Y(s),(s^2−1)=\frac1s
⇔ Y(s)=\frac1{s(s^2−1)}.
E então X(s)=sY(s)+\tfrac1s = \frac{s}{s(s^2−1)} + \frac1s
= \frac1{s^2−1} + \frac1s.

Passo 4

Temos que decompor em frações parciais:
Y(s)=\frac1{s(s^2−1)}=\frac1{s(s−1)(s+1)}
=\frac{A}{s}+\frac{B}{s−1}+\frac{C}{s+1}.
Fazendo os cálculos dá A=−1, B=½, C=½, ou seja
Y(s)=−\frac1s + \frac{1/2}{s−1} + \frac{1/2}{s+1}.
Para X(s):
\frac1{s^2−1}=\frac1{2(s−1)} − \frac1{2(s+1)},
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X(s)=\frac1s + \frac1{2(s−1)} − \frac1{2(s+1)}.

Passo 5

Agora voltamos ao tempo usando a tabela:
y(t)=L^{−1}{Y(s)}
=−1 + \tfrac12 e^{t} + \tfrac12 e^{−t}
= \cosh t − 1.
x(t)=L^{−1}{X(s)}
=1 + \tfrac12 e^{t} − \tfrac12 e^{−t}
= 1 + \sinh t.

Resposta

x(t)=1+\sinh(t),
y(t)=\cosh(t)-1.

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