Determine, com auxílio da transformada de Laplace, a solução geral do sistema de equações diferenciais
e
, sujeito às condições iniciais
e
.
Passo 1
Beleza, o que temos aqui é um sistema de equações diferenciais que a gente vai resolver usando a transformada de Laplace. O enunciado diz:
\dot y(t)=x(t)−1 e \dot x(t)=y(t)+1, com as condições iniciais y(0)=0 e x(0)=1.
Isso é assunto de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e o truque é virar tudo transformada de Laplace, resolver no “s” e depois voltar pra “t”. Para isso precisamos lembrar:
\dot y(t)=x(t)−1 e \dot x(t)=y(t)+1, com as condições iniciais y(0)=0 e x(0)=1.
Isso é assunto de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e o truque é virar tudo transformada de Laplace, resolver no “s” e depois voltar pra “t”. Para isso precisamos lembrar:
- L{y′(t)}=sY(s)−y(0)
- L{x′(t)}=sX(s)−x(0)
- Tabela básica: L{1}=1/s, L{e^{at}}=1/(s−a), etc.
Passo 2
Vamos aplicar Laplace em cada equação. Definimos Y(s)=L{y(t)} e X(s)=L{x(t)}.
-
Em \dot y(t)=x(t)−1:
L{\dot y}=sY(s)−y(0)=sY(s)−0,
L{x(t)−1}=X(s)−1/s.
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sY(s)=X(s)−\frac1s. -
Em \dot x(t)=y(t)+1:
L{\dot x}=sX(s)−x(0)=sX(s)−1,
L{y(t)+1}=Y(s)+1/s.
Logo
sX(s)−1=Y(s)+\frac1s.
Passo 3
Agora temos o sistema em s:
(i) sY(s)=X(s)−\frac1s
(ii) sX(s)−1=Y(s)+\frac1s
(i) sY(s)=X(s)−\frac1s
(ii) sX(s)−1=Y(s)+\frac1s
Da (i): X(s)=sY(s)+1/s.
Substituindo em (ii):
s\bigl(sY(s)+\tfrac1s\bigr)−1 = Y(s)+\tfrac1s
⇔ s^2Y(s)+1−1 = Y(s)+\tfrac1s
⇔ s^2Y(s)=Y(s)+\tfrac1s
⇔ Y(s),(s^2−1)=\frac1s
⇔ Y(s)=\frac1{s(s^2−1)}.
Substituindo em (ii):
s\bigl(sY(s)+\tfrac1s\bigr)−1 = Y(s)+\tfrac1s
⇔ s^2Y(s)+1−1 = Y(s)+\tfrac1s
⇔ s^2Y(s)=Y(s)+\tfrac1s
⇔ Y(s),(s^2−1)=\frac1s
⇔ Y(s)=\frac1{s(s^2−1)}.
E então X(s)=sY(s)+\tfrac1s = \frac{s}{s(s^2−1)} + \frac1s
= \frac1{s^2−1} + \frac1s.
= \frac1{s^2−1} + \frac1s.
Passo 4
Temos que decompor em frações parciais:
Y(s)=\frac1{s(s^2−1)}=\frac1{s(s−1)(s+1)}
=\frac{A}{s}+\frac{B}{s−1}+\frac{C}{s+1}.
=\frac{A}{s}+\frac{B}{s−1}+\frac{C}{s+1}.
Fazendo os cálculos dá A=−1, B=½, C=½, ou seja
Y(s)=−\frac1s + \frac{1/2}{s−1} + \frac{1/2}{s+1}.
Y(s)=−\frac1s + \frac{1/2}{s−1} + \frac{1/2}{s+1}.
Para X(s):
\frac1{s^2−1}=\frac1{2(s−1)} − \frac1{2(s+1)},
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X(s)=\frac1s + \frac1{2(s−1)} − \frac1{2(s+1)}.
\frac1{s^2−1}=\frac1{2(s−1)} − \frac1{2(s+1)},
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X(s)=\frac1s + \frac1{2(s−1)} − \frac1{2(s+1)}.
Passo 5
Agora voltamos ao tempo usando a tabela:
y(t)=L^{−1}{Y(s)}
=−1 + \tfrac12 e^{t} + \tfrac12 e^{−t}
= \cosh t − 1.
=−1 + \tfrac12 e^{t} + \tfrac12 e^{−t}
= \cosh t − 1.
x(t)=L^{−1}{X(s)}
=1 + \tfrac12 e^{t} − \tfrac12 e^{−t}
= 1 + \sinh t.
=1 + \tfrac12 e^{t} − \tfrac12 e^{−t}
= 1 + \sinh t.
Resposta
x(t)=1+\sinh(t),
y(t)=\cosh(t)-1.
y(t)=\cosh(t)-1.