Resolva as equações diferenciais a seguir para todo t >= 0, lembrando que de é a função impulso unitário e v(t) é o degrau unitário.
ddoty+6 doty+34 y=e^-3 t sen(5 t+pi2), y(0)=0, doty(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, para t≥0, a equação diferencial linear de 2º ordem com coeficientes constantes

O conteúdo aqui é método dos coeficientes indeterminados em EDOs lineares, incluindo o caso de ressonância. Vamos precisar de:
1) achar a solução geral da homogênea (raízes da equação característica),
2) propor um “chute” para a solução particular (lembrando de multiplicar por t em caso de ressonância),
3) determinar coeficientes igualando termos,
4) aplicar as condições iniciais para achar as constantes livres.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a homogênea
ddot y +6dot y+34y=0
A equação característica é
r^2+6r+34=0;Longrightarrow;r=-3pm5i
Logo a solução geral da parte homogênea é
yh(t)=e^-3tl(Acos5t + Bsin5tr)

Passo 3

Agora note que

Como o termo forçante é senl(5t+tfracpi2r)=cos5t e os expoentes complexos da homogênea também são yp(t)=t,e^-3tl(Ccos5t + Dsin5tr), temos ressonância de 1ª ordem. O “chute” para a particular é então

Passo 4

Precisamos de C=0, D=tfrac110 e yp(t)= t10,e^-3tsin5t. Após derivar (ou usar tabelas) e colocar na equação
, igualamos coeficientes de , , e . Esse sistema dá
Portanto

Passo 5

A solução geral é
$$y(t)=y_h(t)+y_p(t)
=e^{-3t}\bigl(A\cos5t+B\sin5t\bigr)+\frac t{10},e^{-3t}\sin5t.$$
Impondo y(t)=yh(t)+yp(t) =e^-3tl(Acos5t+Bsin5tr)+ t10,e^-3tsin5t e :
- .
- Calculando e avaliando em , logo .

Resposta

boxedy(t)=e^-3tsin5tl(tfrac15+tfrac t10r)

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