Resolva as equações diferenciais a seguir para todo
, lembrando que
é a função impulso unitário e
é o degrau unitário.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, para t≥0, a equação diferencial linear de 2º ordem com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é método dos coeficientes indeterminados em EDOs lineares, incluindo o caso de ressonância. Vamos precisar de:
1) achar a solução geral da homogênea (raízes da equação característica),
2) propor um “chute” para a solução particular (lembrando de multiplicar por t em caso de ressonância),
3) determinar coeficientes igualando termos,
4) aplicar as condições iniciais para achar as constantes livres.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a homogênea
A equação característica é
Logo a solução geral da parte homogênea é
Passo 3
Agora note que
Como o termo forçante é
Passo 4
Precisamos de
e
. Após derivar (ou usar tabelas) e colocar na equação
, igualamos coeficientes de
,
,
e
. Esse sistema dá
Portanto
Passo 5
A solução geral é
$$y(t)=y_h(t)+y_p(t)
=e^{-3t}\bigl(A\cos5t+B\sin5t\bigr)+\frac t{10},e^{-3t}\sin5t.$$
Impondo e
:
- .
- Calculando e avaliando em
dá
, logo
.
Impondo
-
- Calculando