Resolva as equações diferenciais a seguir para todo
, lembrando que
é a função impulso unitário e
é o degrau unitário.
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado é: “Resolva a EDO
onde
e
eram só pra lembrar sobre impulso e degrau, mas neste caso a força é
.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, usando:
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, usando:
- solução geral = solução homogênea + particular,
- método dos coeficientes indeterminados,
- ajuste pelas condições iniciais.
Passo 2
Primeiro a parte homogênea:
A equação característica é
Logo
Passo 3
Agora a parte particular
para forçamento
.
Como não é raiz da característica, chutamos
Como
Calculando derivadas (usando produto):
Substituindo em
:
que deve ser igual a
.
Então igualamos coeficientes do polinômio em :
Então igualamos coeficientes do polinômio em
Logo
Passo 4
A solução geral é
Vamos impor
e
.
- Em
:
- Derivando e avaliando em
:
então
Resolvendo o sistema
acha-se