Resolva as equações diferenciais a seguir para todo t >= 0, lembrando que de é a função impulso unitário e v(t) é o degrau unitário.
ddoty+5 doty+4 y=t e^-2 t, y(0)=1, doty(0)=1.

Passo 1

Beleza, então o enunciado é: “Resolva a EDO
ddot y+5dot y+4y ;=;t,e^-2t, y(0)=1,;dot y(0)=1,
onde e eram só pra lembrar sobre impulso e degrau, mas neste caso a força é .
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, usando:
  • solução geral = solução homogênea + particular,
  • método dos coeficientes indeterminados,
  • ajuste pelas condições iniciais.

Passo 2

Primeiro a parte homogênea:
ddot yh+5dot yh+4yh=0
A equação característica é
r^2+5r+4=0;Longrightarrow;(r+1)(r+4)=0 ;Rightarrow;r=-1,,-4
Logo
yh(t)=C1e^-t+C2e^-4t

Passo 3

Agora a parte particular yp(t)=(A,t+B),e^-2t para forçamento yp'=[-2A,t +A -2B],e^-2t, .
Como yp''=[4A,t +(-4A+4B)],e^-2t não é raiz da característica, chutamos
yp''+5yp'+4yp =l[-2A,t + (A-2B)r],e^-2t
Calculando derivadas (usando produto):
-2A=1 Longrightarrow A=-tfrac12,
A-2B=0 Longrightarrow -tfrac12-2B=0 ;Rightarrow;B=-tfrac14
Substituindo em yp(t)=l(-tfrac12,t-tfrac14r)e^-2t :
que deve ser igual a .
Então igualamos coeficientes do polinômio em :
Logo

Passo 4

A solução geral é
y(t)=C1e^-t+C2e^-4t -l(tfrac12,t+tfrac14r)e^-2t
Vamos impor y(0)=C1+C2-tfrac14=1 ;Longrightarrow; C1+C2=tfrac54 e y'(t)=-C1e^-t-4C2e^-4t+t,e^-2t, .
  1. Em y'(0)=-C1-4C2+0=1 ;Longrightarrow; -C1-4C2=1 :
C1 + C2 = 5/4, -,C1 - 4C2 = 1,
  1. Derivando e avaliando em C2=-tfrac34, C1=2 :
então
Resolvendo o sistema
acha-se

Resposta

boxedy(t)=2,e^-t-tfrac34,e^-4t -l(tfrac12,t+tfrac14r)e^-2t, t>=0

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