Determine e de modo que .
10) Determine quais afirmações são verdadeiras:
a) A soma de dois polinômios de grau 5 é sempre um polinômio de grau 5.
Passo 1
Primeiro, resumindo o enunciado: temos uma matriz 2×2 cujos elementos dependem de dois parâmetros a e b. O conteúdo é determinante de matriz e comparação de polinômios. Queremos escolher a e b de forma que o determinante seja exatamente x²–4. Além disso, avaliar a afirmação sobre soma de dois polinômios de grau 5.
Passo 2
Para calcular o determinante de uma matriz 2×2 usamos a fórmula detp & q r & s = p·s – q·r. Aqui temos p = x, q = a, r = 3x–2, s = x–b. Então
det = x,(x - b) - a,(3x - 2)
Desenvolvendo esse determinante: det = x^2 - b x - 3a x + 2a = x^2 - (b + 3a),x + 2a
Queremos que esse polinômio seja igual a x²–4, ou seja,
$$
x^2 - (b + 3a)x + 2a = x^2 + 0,x - 4$$
Comparando coeficientes: do termo x temos b + 3a = 0. Do termo constante temos 2a = -4, logo a = -2. Substituindo em b + 3a = 0 dá b + 3(−2) = 0, então b = 6.
Passo 3
Agora, sobre a afirmação “a soma de dois polinômios de grau 5 é sempre um polinômio de grau 5”: na teoria de polinômios, o grau da soma pode ser menor se o coeficiente principal se cancelar. Por exemplo, (x5+1)+(−x5+2)=3, que é grau 0. Portanto, a afirmação é falsa.