Determine se a barra
pode suportar uma carga de
se o fator de segurança a respeito de flambagem do membro
for 3. Assuma que o membro
é de aço e está pinado em suas extremidades para o eixo xx e fixo para o eixo yy.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra de aço, chamada AB, e queremos saber se ela consegue suportar uma carga distribuída $ w = \left(\frac{a}{2} + \frac{b}{2}\right) , \mathrm{kN/m} $. Além disso, o fator de segurança contra flambagem (que é quando a barra se deforma devido à compressão) é de 3. Os dados que vamos usar estão aí: módulo de elasticidade $ E = 200 , \mathrm{GPa} $ e tensão de escoamento $ \sigma_{esc} = 360 , \mathrm{MPa} $. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de mecânica dos materiais relacionados à flambagem de colunas e fatores de segurança.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa fator de segurança. Ele é uma margem que adicionamos para garantir que nossa estrutura não falhe mesmo se houver variações inesperadas na carga ou nas propriedades dos materiais. Aqui, o fator de segurança é 3, o que significa que a carga máxima que a barra pode suportar antes de flambar é 3 vezes a carga que estamos considerando.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a carga crítica de flambagem da barra AB. Para isso, usamos a fórmula de Euler para colunas comprimidas:
Onde:
- $ P_{cr} $ é a carga crítica de flambagem,
- $ E $ é o módulo de elasticidade,
- $ I $ é o momento de inércia da área da seção transversal da barra,
- $ K $ é o fator de comprimento efetivo que depende das condições de apoio,
- $ L $ é o comprimento da barra.
Como a barra está “pinada” nas extremidades para o eixo xx e “fixa” para o eixo yy, assumiremos que $ K = 1 $ para simplificar, o que significa que o comprimento efetivo é igual ao comprimento real da barra.
Passo 4
Precisamos conhecer o momento de inércia $ I $ da seção transversal da barra AB. A forma e as dimensões da seção transversal não foram fornecidas na questão, então vamos supor que a barra tem uma seção circular para simplificar. O momento de inércia para uma seção circular é dado por:
Onde $ d $ é o diâmetro da barra. Se a seção for de outro tipo, a fórmula de $ I $ será diferente. Sem essa informação, vamos continuar com a fórmula geral.
Passo 5
Sabemos que a carga distribuída $ w $ é dada por $ w = \left(\frac{a}{2} + \frac{b}{2}\right) , \mathrm{kN/m} $. Para encontrar a carga total $ P $ que a barra deve suportar, precisamos multiplicar $ w $ pelo comprimento $ L $ da barra:
Passo 6
Aplicando o fator de segurança, a carga crítica de flambagem $ P_{cr} $ deve ser pelo menos 3 vezes a carga total $ P $:
Substituindo a fórmula de Euler:
Passo 7
Agora, resolvemos a inequação para verificar se a barra AB pode suportar a carga:
Simplificando:
Se essa condição for verdadeira com os dados fornecidos e as dimensões da barra, então a barra pode suportar a carga com o fator de segurança requerido.
Resposta
Com base nos cálculos e nas condições apresentadas, a barra AB pode suportar a carga de $ w = \left(\frac{a}{2} + \frac{b}{2}\right) , \mathrm{kN/m} $, desde que as dimensões e o momento de inércia da seção transversal satisfaçam a inequação
. Assim, se esses parâmetros forem atendidos, a barra estará segura contra flambagem com o fator de segurança de 3.