Determine uma base e a dimensão para cada um dos seguintes subespaços.
W=\left\{\left[\begin{array}{ll}x & y \\\ z & w\end{array}\right] \in M(2,2) ; z=x-3 y, w=0\right\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço W de M(2,2) definido por condições sobre as entradas das matrizes. Precisamente:
  • Os elementos de W são matrizes da forma \left[\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right] tais que \;z=x-3y\; e \;w=0.
  • Pergunta: determinar uma base de W e a dimensão de W.
As informações relevantes que temos são as relações entre as entradas: \;z=x-3y\; e \;w=0\;. Não há outras restrições.

Passo 2

Escrevemos um elemento genérico de W usando as restrições dadas. Substituindo \;z=x-3y\; e \;w=0\; obtemos:
\left[\begin{array}{cc}x & y \\\ x-3y & 0\end{array}\right].
Aqui os parâmetros livres são \;x\; e \;y\;: qualquer escolha de \;x,y\in\mathbb{R}\; (ou no corpo que se esteja usando) determina uma matriz em W.

Passo 3

Vamos separar a expressão anterior como combinação linear em função de x e y. Reescrevendo:
\left[\begin{array}{cc}x & y \\\ x-3y & 0\end{array}\right] = x\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right] + y\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -3 & 0\end{array}\right].
Denotando
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -3 & 0\end{array}\right],
temos que todo elemento de W é da forma xA+yB.

Passo 4

Mostro que A e B realmente pertencem a W. Para A as entradas são x=1,\;y=0, então z=1-3\cdot0=1 e w=0: portanto A\in W. Para B as entradas são x=0,\;y=1, então z=0-3\cdot1=-3 e w=0: portanto B\in W.

Passo 5

Provo que \{A,B\} gera W (ou seja, que \mathrm{span}\{A,B\}=W). Já escrevemos um elemento genérico de W como xA+yB. Isso mostra diretamente que toda matriz de W é combinação linear de A e B. Logo \{A,B\} gera W.

Passo 6

Provo que A e B são linearmente independentes. Suponha que existam escalares \alpha,\beta tais que
\alpha A + \beta B = \left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right].
Calculando a combinação no espaço das entradas:
\alpha A + \beta B = \left[\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\\ \alpha-3\beta & 0\end{array}\right].
Igualando à matriz zero obtemos o sistema de equações para as entradas:
\alpha = 0,\qquad \beta = 0,\qquad \alpha-3\beta=0.
As duas primeiras equações já dão \alpha=0 e \beta=0. Portanto a única combinação linear de A e B que dá a matriz zero é a trivial, o que prova que A e B são linearmente independentes.

Passo 7

Como \{A,B\} gera W e é formada por vetores linearmente independentes, ela é uma base de W. O número de vetores da base é 2, portanto a dimensão de W é 2.

Resposta

\displaystyle \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt]1 & 0\end{array}\right],\\ \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\[4pt]-3 & 0\end{array}\right]\right\}
\displaystyle \dim(W)=2]

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