Determine uma base e a dimensão para cada um dos seguintes subespaços. W=\left\{\left[\begin{array}{ll}x & y \\\ z & w\end{array}\right] \in M(2,2) ; z=x-3 y, w=0\right\}
Passo 1
O enunciado dá o subespaço W de M(2,2) definido por condições sobre as entradas das matrizes. Precisamente:
Os elementos de W são matrizes da forma \left[\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right] tais que \;z=x-3y\; e \;w=0.
Pergunta: determinar uma base de W e a dimensão de W.
As informações relevantes que temos são as relações entre as entradas: \;z=x-3y\; e \;w=0\;. Não há outras restrições.
Passo 2
Escrevemos um elemento genérico de W usando as restrições dadas. Substituindo \;z=x-3y\; e \;w=0\; obtemos:
\left[\begin{array}{cc}x & y \\\ x-3y & 0\end{array}\right].
Aqui os parâmetros livres são \;x\; e \;y\;: qualquer escolha de \;x,y\in\mathbb{R}\; (ou no corpo que se esteja usando) determina uma matriz em W.
Passo 3
Vamos separar a expressão anterior como combinação linear em função de x e y. Reescrevendo:
Mostro que A e B realmente pertencem a W. Para A as entradas são x=1,\;y=0, então z=1-3\cdot0=1 e w=0: portanto A\in W. Para B as entradas são x=0,\;y=1, então z=0-3\cdot1=-3 e w=0: portanto B\in W.
Passo 5
Provo que \{A,B\} gera W (ou seja, que \mathrm{span}\{A,B\}=W). Já escrevemos um elemento genérico de W como xA+yB. Isso mostra diretamente que toda matriz de W é combinação linear de A e B. Logo \{A,B\} gera W.
Passo 6
Provo que A e B são linearmente independentes. Suponha que existam escalares \alpha,\beta tais que
\alpha A + \beta B = \left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right].
Calculando a combinação no espaço das entradas:
\alpha A + \beta B = \left[\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\\ \alpha-3\beta & 0\end{array}\right].
Igualando à matriz zero obtemos o sistema de equações para as entradas:
As duas primeiras equações já dão \alpha=0 e \beta=0. Portanto a única combinação linear de A e B que dá a matriz zero é a trivial, o que prova que A e B são linearmente independentes.
Passo 7
Como \{A,B\} gera W e é formada por vetores linearmente independentes, ela é uma base de W. O número de vetores da base é 2, portanto a dimensão de W é 2.