Determine uma base e a dimensão para cada um dos seguintes subespaços.
W=\left\{\left[\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right] \in M(2,2) ; x=y, w=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar uma base e a dimensão do subespaço W dado por
W=\left\{\left[\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right]\in M(2,2)\;;\; x=y,\; w=0\right\}.
Informações fornecidas e condições:
  • Os elementos de W são matrizes 2\times2 com entradas x,y,z,w.
  • Há duas restrições: x=y e w=0.
  • Preciso encontrar (1) um conjunto de matrizes que forma uma base de W e (2) a dimensão de W.

Passo 2

Vamos escrever a forma geral de uma matriz em W aplicando as restrições x=y e w=0. Começando da matriz genérica
\left[\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right],
substituindo y=x e w=0 obtemos
\left[\begin{array}{cc}x & x \\\ z & 0\end{array}\right].
Aqui x e z aparecem livres (podem ser quaisquer escalares). Vou chamar a o parâmetro associado a x e b o parâmetro associado a z, isto é a=x e b=z.

Passo 3

Agora escrevo a matriz como combinação linear dos parâmetros a e b. Separando os efeitos de a e b:
\left[\begin{array}{cc}a & a \\\ b & 0\end{array}\right] = a\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right] + b\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right].
Isto mostra que todo elemento de W é combinação linear das duas matrizes
A_1=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right], \qquad A_2=\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right].

Passo 4

Vou explicar por que as matrizes A_1 e A_2 geram (span) todo W. A ideia: qualquer matriz em W tem a forma mostrada no passo anterior com certos escalares a,b. Tomando exatamente esses a,b na combinação aA_1+bA_2 obtém-se a matriz desejada. Portanto
\operatorname{span}\{A_1,A_2\}=W.
Isso prova que \{A_1,A_2\} gera W.

Passo 5

Agora verifico que A_1 e A_2 são linearmente independentes. Considere uma combinação linear que dê a matriz zero:
\alpha A_1 + \beta A_2 = \left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right].
Escrevendo as entradas dessa combinação:
\alpha\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right] + \beta\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\alpha & \alpha \\\ \beta & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right].
Igualando entradas correspondentes obtemos o sistema
\alpha = 0,\qquad \alpha = 0,\qquad \beta = 0,\qquad 0=0.
Da primeira igualdade já vem \alpha=0, e então \beta=0. Logo \alpha=\beta=0 é a única solução, o que significa que A_1 e A_2 são linearmente independentes.

Passo 6

Tendo mostrado que (i) \{A_1,A_2\} gera W e (ii) é linearmente independente, concluo que \{A_1,A_2\} é uma base de W. A dimensão de W é o número de vetores numa base, portanto
\dim(W)=2.
Observação curta e útil para a prova: qualquer base de W terá exatamente 2 vetores; a base que encontramos é simples e direta.

Resposta

Base: \left\{\,\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\; \left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]\,\right\}
Dimensão: \;2

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