Determine uma base e a dimensão para cada um dos seguintes subespaços. W=\{(x, y, z) ; z=2 x-y\}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar uma base e a dimensão do subespaço
W=\{(x,y,z)\mid z=2x-y\}.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
Um vetor genérico de W tem coordenadas (x,y,z) sujeitas à relação linear z=2x-y.
Nada mais é dado; o subespaço está contido em \mathbb{R}^3.
Passo 2
Vamos escrever um vetor genérico de W em termos de parâmetros livres. A equação z=2x-y liga as três coordenadas, então basta escolher duas coordenadas como parâmetros livres (porque uma é determinada pelas outras duas). Uma escolha natural é tomar x e y como parâmetros. Chamo-os de s e t:
x=s,\qquad y=t.
Então, pela relação do enunciado,
z=2x-y=2s-t.
Portanto um vetor arbitrário de W pode ser escrito como
(x,y,z)=(s,t,2s-t).
Passo 3
Agora vou escrever (s,t,2s-t) como combinação linear de vetores que não dependem de s e t. Separe os termos com s e t:
(s,t,2s-t)=s\,(1,0,2)+t\,(0,1,-1).
Isso mostra que todo vetor de W é uma combinação linear dos vetores (1,0,2) e (0,1,-1). Em linguagem técnica, os vetores (1,0,2) e (0,1,-1) geram W, ou seja,
W=\operatorname{span}\{(1,0,2),(0,1,-1)\}.
Passo 4
Para concluir que esses dois vetores formam uma base precisamos também verificar que eles são linearmente independentes. Faço a verificação direta: suponha que existam escalares \alpha\) e \(\beta\) tais que
\[\alpha\,(1,0,2)+\beta\,(0,1,-1)=(0,0,0).
Das duas primeiras equações já vem \alpha=0\] e \(\beta=0, que satisfazem a terceira. Portanto a única combinação linear que produz o vetor zero é a combinação trivial; logo os vetores são linearmente independentes.]
Passo 5
Juntando os resultados dos passos anteriores: os vetores (1,0,2) e (0,1,-1) geram W e são linearmente independentes. Isso significa que eles formam uma base de W. Como a base encontrada tem exatamente dois vetores, a dimensão de W é 2. Observação útil para prova: qualquer escolha de dois parâmetros independentes (por exemplo x e y, ou x e z) e posterior parametrização dará uma base equivalente (vetores diferentes, mas também válidos), e o fato de existir uma relação linear entre as três coordenadas implica que o subespaço é um plano que passa pela origem em \mathbb{R}^3.