Determine uma base e a dimensão do espaço solução de cada sistema homogêneo:
\left\{\begin{array}{l}x-y-z-t=0 \\\\ 2 x+y+t=0 \\\ z-t=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo com quatro incógnitas x,y,z,t:
\begin{cases} x - y - z - t = 0,\\[4pt] 2x + y + t = 0,\\[4pt] z - t = 0. \end{cases}
O que é pedido:
  • Determinar uma base do espaço solução (ou seja, do núcleo do sistema).
  • Determinar a dimensão desse espaço solução.]

Passo 2

Vamos representar o sistema pela matriz aumentada (coluna de zeros à direita, já que é homogêneo). A matriz dos coeficientes é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}
e a matriz aumentada (com coluna de zeros) é
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & -1 & -1 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right).
Vou aplicar eliminação de Gauss para chegar a uma forma escalonada (isso não altera o conjunto de soluções).]

Passo 3

Usar a primeira linha como pivô para zerar a primeira entrada da segunda linha:
  • Nova linha2 = linha2 − 2·linha1.
Cálculo da linha2:
(2,\,1,\,0,\,1) - 2(1,\,-1,\,-1,\,-1) = (2-2,\;1+2,\;0+2,\;1+2)=(0,\,3,\,2,\,3).
A terceira linha já está com zero na primeira coluna. A matriz aumentada torna-se
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & -1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 2 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right).]

Passo 4

A forma escalonada mostra pivôs nas colunas 1,2,3. Isso significa que as variáveis correspondentes x,y,z são variáveis principais (dependentes) e a variável t é livre. Chamemos o parâmetro livre de t=\lambda, com \lambda\in\mathbb{R}.
A terceira equação (linha 3) diz:
z - t = 0 \quad\Rightarrow\quad z = t = \lambda.
A segunda equação (linha 2) diz:
3y + 2z + 3t = 0.
Substituindo z=t=\lambda:
3y + 2\lambda + 3\lambda = 0 \quad\Rightarrow\quad 3y + 5\lambda = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -\frac{5}{3}\lambda.

Passo 5

A primeira equação (linha 1) dá:
x - y - z - t = 0 \quad\Rightarrow\quad x = y + z + t.
Substituindo y=-\dfrac{5}{3}\lambda e z=t=\lambda:
x = -\frac{5}{3}\lambda + \lambda + \lambda = -\frac{5}{3}\lambda + \frac{3}{3}\lambda + \frac{3}{3}\lambda = -\frac{5}{3}\lambda + \frac{6}{3}\lambda = \frac{1}{3}\lambda.

Passo 6

Portanto todas as soluções são da forma
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\\[4pt]t\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}\\[4pt] -\dfrac{5}{3}\\[4pt] 1\\[4pt] 1 \end{pmatrix}, \qquad \lambda\in\mathbb{R}.
Podemos multiplicar o vetor gerador por constante não nula sem mudar o subespaço gerado; para evitar frações escolhemos o vetor inteiro obtido multiplicando por 3:
\begin{pmatrix}1\\[4pt]-5\\[4pt]3\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Assim o espaço solução é o conjunto de múltiplos escalares desse vetor, portanto é unidimensional.]

Passo 7

Conclusões importantes e checagem:
  • O número de variáveis livres é 1 (apenas t), então a dimensão do espaço solução é 1.
  • Uma base conveniente é formada por um único vetor que gera todas as soluções, por exemplo \left\{\begin{pmatrix}1\\\ -5\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix}\right\}.
  • Verificação rápida: substituir \begin{pmatrix}1\\\ -5\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix} nas equações originais dá
    • 1 - (-5) - 3 - 3 = 1+5-3-3 = 0,
    • 2\cdot1 + (-5) + 3 = 2 -5 +3 = 0,
    • 3 - 3 = 0.
      Tudo ok.

Resposta

Base: \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-5\\[4pt]3\\[4pt]3\end{pmatrix}\right\}
Dimensão: 1]

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