Determine uma base e a dimensão do espaço solução de cada sistema homogêneo: \left\{\begin{array}{l}x-y-z-t=0 \\\\ 2 x+y+t=0 \\\ z-t=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema homogêneo com quatro incógnitas x,y,z,t:
\begin{cases} x - y - z - t = 0,\\[4pt] 2x + y + t = 0,\\[4pt] z - t = 0. \end{cases}
O que é pedido:
Determinar uma base do espaço solução (ou seja, do núcleo do sistema).
Determinar a dimensão desse espaço solução.]
Passo 2
Vamos representar o sistema pela matriz aumentada (coluna de zeros à direita, já que é homogêneo). A matriz dos coeficientes é
A forma escalonada mostra pivôs nas colunas 1,2,3. Isso significa que as variáveis correspondentes x,y,z são variáveis principais (dependentes) e a variável t é livre. Chamemos o parâmetro livre de t=\lambda, com \lambda\in\mathbb{R}.
Podemos multiplicar o vetor gerador por constante não nula sem mudar o subespaço gerado; para evitar frações escolhemos o vetor inteiro obtido multiplicando por 3:
Assim o espaço solução é o conjunto de múltiplos escalares desse vetor, portanto é unidimensional.]
Passo 7
Conclusões importantes e checagem:
O número de variáveis livres é 1 (apenas t), então a dimensão do espaço solução é 1.
Uma base conveniente é formada por um único vetor que gera todas as soluções, por exemplo \left\{\begin{pmatrix}1\\\ -5\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix}\right\}.
Verificação rápida: substituir \begin{pmatrix}1\\\ -5\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix} nas equações originais dá